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在数学竞赛方面我一直很失败，虽然花了很多精力，但是结果并不理想。在这里，我只是将自己学习数学的一些经验和感触写出来，供其他学习数学的新手参考。 数学竞赛的体系数学竞赛的知识主要是4个方面——代数，几何，数论和组合。虽然这四个方面在内容上相差很大，但是在实际应用中是互相联系的，毕竟纯粹的某一方面的题目要么就是太简单，要么就是太难，故而这两种题目出现的几率都不大。 ·代数 代数的基础是计算，需要有扎实的算功和细密的思维，这个可以通过做一定数量的函数、数列和复数的题目练习。当有了比较好的代数功底后，在处理各种繁难的问题时也会感到游刃有余。参考《华南师大附中习题集》代数部分 ➢ 函数在基础部分函数主要起铺垫作用，这部分的题目一般不难，主要就是基本的代数变形和讨论。入门竞赛书上的这部分内容都差不多，参考《奥数教程》高一分册。函数部分的难点是函数方程和高斯函数。 ● 函数方程这个部分的题目在大赛中经常出现，Cauchy方法是解决此类问题最一般也是最为重要的方法，同时要注意考察0点，不动点和特殊值，并注意常用的代换。在函数方程的学习过程中可以适当参考微分方程的解法，对于一些很难看出原函数的题目往往可以先假定函数可微，利用微分方程求出原函数，再根据原函数的特点给出初等方法的证明。【牛人】参考《函数方程》，《题典·代数卷》 ● 高斯函数 重要的数论函数，在数论中用处很多，数量掌握其变形技巧对于简化解题过程有很大的帮助。同时注意，在处理高斯函数的时候的代换技巧。参考《奥林匹克数学研究教程》中高斯函数部分，2005年国家队选拔赛试题 ➢ 数列 数列是高中学习的一个重点部分，它的题目可以和代数中任何部分联系起来，因而备受命题者青睐。这部分的学习需要熟练掌握各种常见数列的通项求法和不动点的相关理论，注意计算能力的培养。参考《奥数教程》高一分册，《奥林匹克数学研究教程》中数列部分 ➢ 复数 复数部分主要是注意数形结合，习惯复数问题几何化，代数问题几何化的思想。注意经典题目的思想，这部分的题目涉及到数学中很多重要的方法，简单题目要仔细研究。参考《奥林匹克数学研究教程》中复数部分 ➢ 不等式 不等式是数学竞赛中必考题型，而且每次出现新题能够解出的人都寥寥无几。此部分的题目方法很多，代数技巧非常强，但是大部分都只是A-G不等式和Cauchy不等式的变形使用。因而在解题的时候思维一定要清晰，不要陷入式子的海洋而迷失了方向，千万不要胡乱套用高等不等式。当然，对于Jensen不等式等高等数学中的不等式也必须了解。在解题的时候要充分利用取等号的条件寻求解题的线索，书写时也要主要写出取等号的条件。参考《奥林匹克数学研究教程》中不等式部分，《题典·代数卷》，历届大赛题目 ➢ 多项式 多项式是数学竞赛中思想方法偏向于高等数学的一个部分，解题时主要考察一个式子的两种表示形式即并且注意特殊值的考察。注意到这里的一般是复数，故而会涉及到复数的处理技巧，特别是Chebyshev多项式。同时熟练掌握Lagrange和Newton两个插值公式。参考《奥林匹克数学研究教程》中多项式部分，《题典·代数卷》，《数学奥赛丛书》中不等式和科西不等式两册，历届大赛题目 ·几何 高中部分的几何包括平面几何，解析几何和立体几何。一般来说后两种只会在一试中出现，而且难度不大，主要考察基本知识点的掌握和计算的熟练程度；而平面几何则是竞赛必考题型之一，考察选手对于图形的把握和思维的活跃程度。 ➢ 平面几何基础知识在每一本竞赛书中都会提到，要熟练掌握Menelaus定理，Ceva定理，Simson定理，Euler定理和Ptolemy定理。对于几何中的常见结论要非常熟悉，并且熟悉各种几何变换，包括平移，旋转，位似，配极和反演。这部分的知识点不多，主要就是选手对于图形结构的把握。在处理题目的时候要注意灵活选取多种方法，不要以为追求纯平几证明，适当引入三角，解析几何，向量和复数对于证明题目是相当有益的。参考《近代欧氏几何学》，《湖南·几何卷》，《华南师大附中习题集》几何部分 ➢ 几何不等式 这个部分题目难度很大，比常规平几题目难与下手，参加高层次竞赛的选手需要加强训练。参考《几何不等式》 ➢ 解析几何 这部分的题目一般都会涉及到大量的计算，重点就是对于计算能力的训练。在刚开始的时候不要追求最简做法，只要保证计算正确性就可以。在达到了一定的水品后，对于做法的简洁性的思考会自然显现，要注意思维的自然性和方法的对称性。参考《奥数教程》高二分册，《解析几何的技巧》单尊著 ➢ 立体几何 这部分是对空间想象能力的训练，一般题目都很简单，故而即使空间想象能力不强的人也可以通过解析几何求解大部分的题目。注意作图的美观和计算的准确性。参考《奥数教程》高一分册，《奥林匹克数学研究教程》中立体几何部分 ·数论 数论是竞赛中非常优美的部分，其中涉及到初等数论中很多古典的技巧。通过这部分的学习，可以掌握定义一个新的体系的过程和方法，故而一定要注意这部分内容是一个体系，是密不可分的。学习数论一定要仔细研读《初等数论》，部分讲述不详细的可以参考华罗庚教授的《数论导引》，熟练掌握基本的思想和方法，很多难题都是以很简单的题目的方法编制而成。参考《初等数论》，《数论导引》，《华南师大附中习题集》数论部分，《题典·数论卷》 ➢ 经典不定方程 这个部分是经典部分，基本的技巧就是不停地取模，因式分解和代数变形，题目一般不会很难，只要注意特殊情况就行了。 ➢ Pell方程这个部分是近几年命题的热点，它的多种形式的通解公式和推导都需要掌握。掌握这部分知识需要学习Legendre符号，Gauss二次互反律，Jacobi符号，连分数，无理数的有理逼近等知识。 ➢ 指数和原根这个部分在竞赛中虽然不会明确被提出，但是很多思想其实就是使用的这部分知识，因此熟练掌握非常有益。 ·组合 这个部分是真正的大杂烩，在前面提到的三个方面的知识在这里都会得到应用，同时它还有自己的一些方法。每道题都会有不同的方法，因而思维需要高度的发散。一般来说，除了经典类型的题目可以用一些万能方法求解外，剩下的题目求解完全是一种数学直觉的体现，需要大量的训练和不断的总结，修正自己思维在解题时的偏差。参考《题典·组合卷》，《华南师大附中习题集》组合部分，《奥林匹克数学研究教程》组合部分 数学竞赛选手的培养数学竞赛是非常枯燥的，如果没有兴趣，那么搞数学竞赛纯粹是浪费时间。因而，对于一个竞赛选手来说首要的是对数学的兴趣。 接下来是自信，在刚开始学习的时候会遇到很多困难，哪怕是等你的水平已经比较高的时候你又会进入一个很长的高原期，这些时候自信是你继续学习的动力，是你突破障碍的利器。对于要参加大赛的选手来说，如果缺乏自信，往往在考场上显得底气不足，解题时会出现焦躁等不良情绪，严重影响发挥，因此自信更是他们取等成功的必要条件。 在拥有良好的心态之后才是学习习惯的培养。首先是要有长期和短期的计划，并不断对照计划敦促自己完成计划。学习的时候要踏实，对于基本问题一定要搞清楚，不能因为不好意思而隐藏问题。对于繁琐的计算和书写一定要认真完成，这样在考场上才不会因为紧张而增加失分。 当水平到达一个新的高度时，要开始经常作总结，比如把最近做的比较好的题目和解答某一类问题的方法写下来。这样经过一段时间就会有一套自己整理的学习资料，在大考前复习这些资料效果最好。平时也要常常翻阅自己的总结，把每个问题吃透。 还要有意识的去关注最新的资料，在一些数学爱好者的网站上有最新的竞赛试题，比如Mathlinks（http://www./Forum/portal.php）。 对于层次较高的选手，思维模式的培养非常重要，要训练自己的第一感觉，尽量使自己能够一看到题目就知道题目的入手方向，这样即使做不出来还是会有一些过程分的。当然这个不是说说就可以做到的，需要相当长时间的训练和极高的数学天赋。 我的失败之处 我们这一届种子选手一共三个——我，叶之林和柳智宇。三个人中，叶之林凭借联赛一等奖保送至浙江大学，柳智宇则进入了国家队，获得了IMO满分金牌，而我参加了高考进入上海交通大学。三个人平时在一起学习，水平相差不大，但是结果却相去甚远。在准备高考的日子里，我常常思考这个问题，希望对高考有所帮助。虽然一直说是心态问题，但我一直不觉得是这样。及至参加过高考，我才明白原来真的是这样。我花了两年半的时间搞竞赛，等到发现自己拿了4个二等奖的时候才不得不回班准备高考。6个月的时间补完高中的全部课程或许真的很恐怖，但我还是做到了，并且还考到了上海交通大学，而其他很多平时考试都比我高、准备高考时间比我长的人却比我考的低，这是为什么？因为这个时候我的目标只是华中科技大学，我相信自己一定能够做到，充满了自信使我在学习和考试时没有任何的包袱，高考中也得以正常发挥，而其他的人或许背着太重的负担去考试吧……想想自己联赛的时候，考前真的想得太多太多，以至于缺乏了自信，虽然感觉不错，其实心态很差，故而考试一再失误。希望以后的竞赛选手能够吸取这个教训，以最好的心态迎接每一次竞赛，取得最好的成绩！
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