先说结论,特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。 一般而言,对于随机变量 比如说: 意思就是 虽然概率密度函数理解起来很直观,但是确实随机变量 1 关于特征 1.1 剪影 下面是两个剪影: 是同一个人吗?不知道,看不清楚,不过如果知道这两个剪影的特征,比如:
以上特征如果都一样,那么: 1.2 泰勒级数 根据泰勒级数可知,两个函数 也即是: 那么,随机变量分布的特征有吗? 2 随机变量分布的特征 随机变量的特征有如下:
这些特征具体是什么含义就不解释了,说来话长。不过这些特征都跟随机变量的“矩”有关系(什么是“矩”请参考此文)。 比如期望: 方差: 偏态: 可见这些特征都和可以由各阶矩算出来。 直觉上可以有以下推论(其实还是有条件的,这里先忽略这些严格性,在实际应用中如下思考问题不大): 随机变量 为什么这么定义呢?首先, 代入可以推出: 原来特征函数包含了分布函数的所有矩,也就是包含了分布函数的所有特征啊。 有数学家是这么形容特征函数(特征函数是下面文中的生成函数的一种): 特征函数 ![]() 所以我们可以进一步完善刚才的结论: 所以,特征函数其实是随机变量 4 傅立叶变换 关于傅立叶变换可以参考以下文章: |
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