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前几天写了《函数思想缘来是这样的啊》，很多读者留言，希望我写写分类讨论思想. 1 全名：分类与整合思想 分类讨论思想的全称叫分类与整合思想.即先对复杂的情况进行分类，然后把各部分的结果整合在一起. 在生活中，大家有这样的体会，有人问你一个很笼统的问题，你无法给出明确的答案. 比如，有人知道我是教数学的老师，就想挑衅，问我：左老师，你每次数学考试都能考100分吗？ 我应该如何回答呢？ 我要说能，那就太狂了吧；我要说不能，正中提问者的下怀，人家心想：还数学老师呢，也不过如此吧. 在这样的情况下，我想到了——分类讨论思想. 于是，我回答：看情况吧.如果总分为150分，我能考100；如果总分为100分，那我考不到. 2 使用场景：无法给出统一的答案 刚才的场景就用到了分类讨论的思想. 解数学题也一样，当解到某一步时，无法用统一的方法，统一的表达式继续往下，就需要分类讨论，因为被研究的问题包含了多种情况. 初等数学中，哪些情况下要讨论呢？ 1.有的定义、概念就是分类给出的. 比如分段函数根据自变量的不同范围有不同的解析式，比如绝对值的概念，对|x|分为x>0，x=0，x<> 2.有的公式、法则、规律、结论、定理就是分类给出的. 比如等比数列求和分为q等于1和q不等于1两种情况，直线的斜率可能存在也可能不存在，指数函数和对数函数的单调性分为a>1和0<><> 3.图形的相对位置关系不确定 比如二次函数的开口向上和向下、定义域与对称轴的关系都会影响最值取得的位置. 4.奇偶项的问题. 比如遇到(-1)^n的形式，需要对n的奇偶进行讨论，我在《奇偶项数列》中多次提到过. 5.同余类问题. 当我们研究某个整数是否能被k（k为正整数）整除时，需要按照以k为模的同余类进行分类. 还有很多情况需要讨论，不一一列举了. 3 栗子1：复合函数的单调性 2006年天津高考数学卷出了这样一道选择题. 分析：如果把指数部分看作新的自变量，则函数可化为关于这个自变量的二次函数. 为研究整个函数的单调性，需要分别研究指数函数的单调性和二次函数的单调性，为此需要分类讨论. 4 栗子2：数列中的同余问题 2008年北京理科的一道填空题考到了同余类问题的分类讨论. 本题涉及到k是否能整除5的问题，需要按以5为模进行同余类讨论，即研究k为5的倍数呢，还是5的倍数加1，还是5的倍数加2,还是5的倍数加3,还是5的倍数加4呢？ 是不是有点繁琐？ 的确，可是考试比的就是谁不烦，谁不怕麻烦，谁就得分. 根据上述规律，我们来研究这个新数列的特点. 5 结语：分类讨论高考必考 高考必然要考到分类讨论思想. 而分类讨论的学习重在下面三点： 1.训练分类讨论的意识，即第一时间敏感地知道要讨论； 2.找到分类讨论的标准，即不仅要知道分类讨论，还知道怎样讨论，做到不重复，不遗漏； 3.如何简化讨论，即知道讨论的方法，也能避开讨论或缩短讨论的进程.
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