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命题如下： 已知：∠ACD=2∠DBC=4∠ADB=4∠BDC=40° 求证：AB=AD 证法1：正弦定理 证法2：角元塞瓦定理 证法3： 作ΔBCD外接圆，圆心为O，辅助线如图所示 易知，OB=OC=OD ∠BOC=2∠BDC=20°,∠COD=2∠CBD=40° ∴ΔOBD是等边三角形 作ΔOBC的外接圆，圆心为E ∠OCF=1/2(180°-40°)-∠ACD=30° ∠OEF=2∠OCF=60° ∴ΔOEF是等边三角形 ΔOEB≌ΔOFD ∴∠OFD=∠OEB=160° ∴EC=EF ∠EFC=∠ECF=40° ∴∠AFD=160°-40°-60°=60° ∴∠FAD=60° ∴ΔAFD是等边三角形 ∴ΔDFO≌ΔDAB ∴AB=OF=OE=BE=FD=AD 尾注： 正弦定理和角元塞瓦定理对处理角格点问题非常有效。 对于角格点问题的纯几何解法，一般借助构造正三角形抑或利用等腰三角形底边三线合一来做，本题纯几何解法(证法3)由储王水老师给出，艺术感极佳。 储王水简介： 储王水，中学数学高级教师，安徽省安庆市岳西县中关中心学校数学教师，安庆市骨干教师。 |
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