|
典型例题1：等边三角形+对角互补，求证角平分线 1、如图，D为等边△ABC外一点，若∠BDC＝120°，求证：AD平分∠BDC.
解题思路： ①思路1：对角互补-截长补短。已知∠BAC=60°，∠BDC=120°，所以得知四边形ABDC对角互补，又因为AB=AC，所以可以进行截长补短或者旋转；即将△ABD绕点A逆时针旋转60°，或者将△ACD绕点A顺时针旋转60°，都可求解得到△ADE为等边三角形。 ②思路2：逆用角平分线定理。已知AB=AC，可作垂线AE和AF；由对角互补可以倒角知∠ABE=∠ACF，所以可用两次全等证得结果。 ③思路3：四点共圆。由对角互补可知四点共圆，弦相等则角相等，得出角平分线。
总结经验： ①对角互补，邻角互补可以导出角相等，而共顶点的等线段则是旋转思路的基本由来； ②满足对角互补及共顶点的等线段，则可逆用角平分线定理作辅助线； ③用四点共圆的思维去解决几何当中的角度问题是相对比较简单的。 典型例题2：等边三角形+角平分线，证对角互补 2、如图，D为等边△ABC外一点，若AD平分∠BDC，求证：∠BDC＝120°.
解题思路： ①思路1：角平分线定理。已知角平分线，则依据角平分线定理构建垂线，证两次全等三角形可知∠ABE=∠ACF，则可推导到对角互补，所以∠BDC=120°. ②思路2：截长补短倒角。延长DB至点E使得DE=DC，根据角平分线构造全等三角形，即可以得到AE=AC=AB，则∠E=∠ACD=∠ABE， 则可在四边形ABDC中导出对角互补，所以∠BDC=120°.
总结经验： 碰到角平分线可以直接应用角平分线定理作垂线；对角互补模型的应用与角平分线性质结合起来，才有更清晰的辅助线作法； 典型例题3：对角互补+角平分线，证等边三角形 3、如图，D为△ABC外一点（BD ＜CD），∠BAC＝60°，若∠BDC＝120°，AD平分∠BDC，求证：AB＝AC.
解题思路： ①思路1：角平分线模型的应用。方法一延长DB至点E使得DE=DC，根据全等三角形倒角，结合对角互补可知AE=AC=AB，所以得证；方法二在DC上截取DE=DB，则一样根据全等三角形倒角，结合对角互补可知AE=AC=AB，所以得证. ②思路2：构造等边三角形。因为∠ADC等于60°，则构造等边△ADE，可以证得△ABD全等△ACE，则可证得AB=AC。
总结经验： 存在60°角的时候，构造等边三角形，是几何证明题当中最重要的辅助线作法之一。 典型例题4：等边三角形+60度，证角平分线 4、如图，D为等边△ABC外一点，若∠ADC＝60°，求证：AD平分∠BDC.
解题思路： ①思路1：构造等边△ADE。两个等边三角形共顶点得到手拉手模型，即可得到∠ADB=∠AEC=60°，所以AD平分∠BDC. ②思路2：截取AE=CD。则可证得△ABE全等△CBD，可得到BE=BD，∠ABE=∠CBD，可推导得到∠EBD=60°，所以△BDE为等边三角形，所以AD平分∠BDC.
总结经验： 方法二中，根据8字模型倒角可知∠BAD=∠BCD，又因为AB=CB，则根据最基本的全等三角形条件构造可得到辅助线作法。此法最基础也最容易被学生忽略。 典型例题5：等腰三角形+角平分线，证等边三角形 5、如图，D为△ABC外一点，若∠ABC＝∠ADB＝∠ADC＝60°，求证：AB＝AC.
解题思路： ①思路1：构造等边△BDG。可证得△ABG全等△CBD，所以AB=BC，所以△ABC为等边三角形，即AB=AC。 ②思路2：四点共圆。角相等，得出四点共圆，同弦所对的圆周角相等，则可推导出∠ADB=∠ACB=60°，所以△ABC为等边三角形，即AB=AC。
总结经验： 方法1中，构造等边三边形，一条辅助线得出全等三角形的三个条件，俗称“一石三鸟”，此方法熟能生巧，需要多思考多总结。 |
|
|
