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我被学生提问难住了——几何填空压轴题思路探索 作为数学老师，解题是家常便饭，而遇到一时解不出来的题也并不少见，于是，分析自己解题思路受阻于何处，如何突破，进而领悟如何去引导学生。当然，被学生所提问题当场问住，的确也有些难堪，不过面子不重要，既然遇到困难，和学生一起思考，在这个过程中，其实也是教育学生，老师也会遇到一时想不出来的难题，此时示范给学生，如何才是面对困难不放弃。 题目 点P是△ABC内一点，∠PBC=30°，∠PBA=8°，且∠PAB=∠PAC=22°，则∠APC=_________°. 我的探索一： 将所有能求的角全都求出来，△ABC中，∠ABC=38°，∠ACB=98°，∠BAC=44°，进一步求得∠APB=150°，然后尝试寻找∠APC与这些已知角的关系，设∠APC=x，则∠ACP=158°-x，∠BCP=x-60°，∠BPC=210°-x，然后便再也找不出等量关系了，探索失败！ 我的探索二： 仅仅寻找角之间的等量关系是不够的，需要找到新的等量关系，方程才能列出来，看到AP两边∠PAB=∠PAC之后，联想到角平分线，延长试下？ 继续表示新出现的角，∠DPB=30°，∠PDC=60°，∠DPC=180°-x，又无路可走了，和探索一出现的困难一样，没有找到新的等量关系列方程求解，探索失败！ 我的探索三： 是否需要构造全等三角形转化角呢？利用角平分线，的确可以很方便地构造，在AB上截取AE=AC试下？ 这次收获比前两次要大一点，图中△APE≌△APC很容易证明，然而看上去似乎相等的BE和PE，始终没办法证明，探索失败！ 我的探索四： 不急，角平分线一定是突破口，于是角平分线有哪些性质？角平分线上的点到角两边距离相等？好，便是它，再来！ 在角平分线上，不同的点都尝试过一遍，全等三角形非常容易找到，可是问题依旧没解决，看来仅仅依靠角平分线性质构造出的全等三角形，并不足以找到新的等量关系，探索失败！ 我的探索五： 陷入沉思后，回顾刚刚的探索过程，失败了四次，并不是一点作用都没有，至少基本方向确定了，角平分线一定能构造全等三角形，如果还能构造出特殊三角形，就能找到新的等量关系了。 等等！刚刚计算出的角度中，含有特殊角30°，60°，包含这种度数的三角形中，等边三角形最特殊，而等边三角形中，三线合一，其中一线正好就是角平分线啊！ 仿佛受到启发，在前面探索图形基础上，又进行了调整。 将角平分线AP延长，然后过点B作它的垂线，垂足为E，交AC延长线于点F，再连接PF。 其实和前面探索中某一个图形很像，只是所连线段不同，这样作辅助线的好处是，全等三角形依然非常容易找到，此时图中的△ABF是等腰三角形，AE是BF的垂直平分线，于是可证△APB≌△APF，在Rt△ABE中，我们可求出∠ABE=68°，于是∠PBE=60°，因此△BPF是等边三角形，设想的目的已经达到了。 继续推导，在等边△BPF中，BC是PF的垂直平分线，于是CP=CF，所以∠PFC=∠FPC，前面已经证明的全等三角形可求得∠PFC=∠PBA=8°，因此∠FPC=8°，而∠EPF=30°，所以∠APC=180°-30°-8°=142°. 解题反思： 原来垂直平分线才是解这道题的关键！回过头来看前面失败的四次探索，无一次构造出了垂直平分线，都在角平分线性质和全等三角形内转圈。而学生在思考过程中，也同样经历了失败，例如探索一和探索二，学生也尝试过，因此这两种思路我也只是简单目测了一下，感觉不行，便没有继续浪费时间。然而构造全等三角形时，角平分线实在是太方便，所以就没有继续思考还有没有其它特殊图形，直到所有路都走死了，只好转身继续深挖条件。 失败的探索中，并非没有益处，至少最后想到垂直平分线，还得多谢第四次失败，当等腰三角形三线合一条件一出现，下意识感觉思路明朗了。因此在面对角平分线条件的时候，除了角平分线本身的性质之外，还需要联系和它有关的定理。 当我在草稿纸上不断尝试推演时，学生一直在旁边看着，不发一言，倒是我自言自语很多，最终当我抬起头告诉学生，我解出来的时候，他脸上是崇拜和敬重，而不是我以为的嘲笑和轻蔑。 给学生讲这道题，除了收获解法之外，我想更重要的是做人的道理，正如我有困难求助于他人，而他人也在努力解决我的问题中遇到困难，我不可能在一旁嘲笑，而是要鼓励与支持，提供力所能及的帮助，这才是正道。 |
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