等边三角形中运用旋转变换实现问题解决

#数学#题目如下：点P是等边△ABC内部一点，AP=5，BP=4，CP=3，求∠BPC的度数是多少？

这个问题有一个关键词等边三角形，等边三角形是一种十分优美的图形，性质是三条边相等，每个内角都是60度。另外很有意思的是，将等边三角形内任一三角形绕顶点旋转60度，都会构造出另一个等边三角形，这是解决这个问题的关键点，明白这种特殊性，就可以用旋转原理做出辅助线。这个题目的数据3，4，5是不是也可很有特点，你想到了什么？这三个数是一组勾股数，符合勾股定理逆定理的条件，画出辅助线后会出现一个直角三角形。

有了这样的知识准备，我们可以这样做辅助线:△ABP绕点A逆时针旋转60度，AB与AC重合，P点位于p'位置，连接Ap'，p'C，pp'。则△App'是等边三角形，由勾股定理逆定理判定，三角形PP'C是直角三角形，角PCP'是90度。设角PP'C是x度，则角P'PC是90一x度，由旋转知，角APB=角AP'C=60+x度，角APP'=60度。以点p为顶点的四个角构成一个周角360度。角BPC+(60+x)+60十(90一x)=360度，所以角BPC=150。

这个题目的关键点是要明白旋转等边三角形内任一三角形60度，可以构造出一个新的等边三角形。类似这样三角形中有一个任意点类型问题，都需要运用旋转60度的方法构造出等边三角形，实现问题的解决。