群论和拓扑学有什么关系？

（文/方弦）

群论可以说是由伽罗华一手开创的数学分支，它主要研究的是各种对称性。可以说，群就是对称性的本质。而拓扑学则可以追溯到欧拉，它研究的是空间中连续变化的不变性。可以说，群论生来就属于代数的范畴，而拓扑学则是脱胎于分析。两个理论刚提出的时候，的确也没有什么关系的。

但数学毕竟是研究抽象结构的学科，在一个分支里碰见另一个分支研究的结构是常事，而往往这样的情况就会导致交叉分支的产生，很多非常漂亮的数学就是这样来的。于是，在这里有两种可能性：群论中出现了拓扑结构，或者拓扑研究中出现了群。

我们先来谈第一种情况。群就是对称性，一般我们说到对称性，都会想起梅花的五重对称之类的有限对称性，但无限的对称性也是存在的。如果将群的元素的集合看成一个空间，有时候我们可以定义相应的拓扑空间，使得群的运算跟拓扑空间本身能和谐共处，用数学术语来说，就是令群的运算和逆元都成为拓扑空间中的连续映射。这样的话，群加上群上面定义的拓扑空间，就变成了所谓的“拓扑群”。拓扑群无处不在，比如说实数和加法组成的群，再加上我们一般定义的实数上的拓扑，就是一个拓扑群。

研究拓扑群的数学分支，就是拓扑群论。因为群是一个非常好的结构，拥有很多很规整的性质，所以在它上面定义的拓扑空间通常也会有很好的性质。而通过一些拓扑性质，比如说紧性，我们可以将有限群论中的很多结论推广到某些无限的拓扑群上。在有了拓扑之后，我们下一步还可以给群加上测度，比如说最自然的哈尔测度，由此又可以进入更广泛的调和分析这个领域。拓扑群论中研究的一些群也非常重要，比如说李群，几乎就是现代物理的数学基础之一。

另一个方向，就是在拓扑研究中出现的群。这主要就是代数拓扑这个分支会做的事情。在这个分支中，我们用到的不仅有群，还有别的代数结构。在代数拓扑中，我们通常会尝试向拓扑空间赋予某种代数结构，然后通过分析这些代数结构，找出一些可以对这些空间进行分类的代数不变量。

（图片来自维基百科）

举个例子，给定一个二维紧致闭曲面，我们可以通过合适的三角剖分来在上面构造一个图。如果考虑图的环路组成的群，以及它跟三角形三条边加起来生成的群的话，两者的商就给出了一个自由群，而这个自由群的生成元个数就对应着曲面的欧拉不变量，也就是唯一的拓扑不变量。当然，在这个情况下可以通过直接计算图的欧拉示性数来得到欧拉不变量，但我们刚刚说到的方法可以轻易推广到更高的维度，这其实就是所谓的同调群。由此派生出的上同调群是代数几何中承前启后的重要数学对象。

所以说，这两个领域虽然看似没有关系，但随着数学的发展，它们之间就自然发生了关系。这样的故事，在许多不同的数学分支之间也在上映着。