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作者：Kevin Hartnett 2021-10-26 译者：zzllrr小乐 2021-10-30
通过一系列工作，数学家们进一步了解扭曲一个简单球体，并最终仍与它自己相似的方式有多少种。 大部分进展来自京都大学的Tadayuki Watanabe（渡边忠之） 的成果。在过去的几年里，他已经找到了如何将一种强大的技术应用于更广泛的研究任意维度球体的用途。 结果，他解决了一个被称为斯梅尔猜想（ Smale Conjecture）的重要问题的最后一个开放案例，并在此过程中创造了一种令人惊讶的观察球体的新方法。 最熟悉的球体是三维物体：例如棒球和行星。它们有许多明显的对称性；你可以翻转或旋转它们，它们看起来仍然一样。 1959 年，一位名叫 Stephen Smale（斯蒂芬·斯梅尔，1966年获得菲尔兹奖，2007年获得沃尔夫奖，zzllrr小乐注） 的数学家询问：三维球体的这些基本对称性是否在某种程度上代表了它的所有对称性。在随后的几十年里，数学家们解决了三维球体（实际上是所有对称性）以及几乎所有维度的球体（一般来说，这些不是所有对称性）的 Smale 猜想。但有一种情况他们无法破译：四维球体。 但是在 2018 年末，渡边解决了这个问题。他证明了四维球体具有远远超出基本对称性的对称族。通过这样做，他完成了 Smale 猜想，并激发了对那些异常对称性的探索。该搜索的进展很快，包括Watanabe 在 9 月发表的一篇新论文。 “当你知道 Smale 猜想不正确时，你不应该就此止步。你应该试着弄清楚它离真实有多远，”多伦多大学士嘉堡分校的亚历山大·库珀斯说。 微分同胚的细节 拓扑学领域的数学家研究形状的特性，称为流形，如球体。他们考虑了刚性对称性，例如旋转和反射，但也考虑了稍微宽松的对称性概念，包括在保留其一些基本属性的同时重新排列流形上的点的任何方式。 例如，球体处处都是光滑的，这意味着可以在其表面上的每个点进行微积分。如果你重新排列这些点，使最终得到的球体在任何地方仍然是光滑的，那么你就执行了一种数学家称为微分同胚（diffeomorphism）的变换。 所有的旋转和反射都是球体的微分同胚，但还有许多其他的微分同胚。例如，你可以将大多数点保留在原处，并将重新排列限制在球体的一个小区域内。在那里，假设你移动一个点并拉伸该区域中的其余点。这种“点推”（point-pushing）策略只是球体微分同胚的众多例子之一，它不是刚性对称——既不是旋转也不是反射。 多年前，Smale 想了解球体的微分同胚与球体的刚性对称性之间的关系。还有更多的微分同胚，但它们是一种性质不同的类型吗？ 斯梅尔猜想比较了两种球对称。 第一种类型叫刚体对称，包含两种球回到自身的对称：旋转、反射。
第二种类型是微分同胚，包含了所有不改变球基本性质的点重新排列的方式。一种例子叫做“点推”（Point-Pushing），即 第一步：选择球面上一个区域，例如一个圆形区域。 第二步：移动1个点。
第三步：重排圆内其他点，让间隙填满。 第四步：结果得到原来的球的微分同胚。
Smale的问题 Smale 以一种非常特殊的方式提出了这个问题。他通过将所有旋转和反射视为形成自己的空间，将所有微分同胚视为形成不同的空间来比较两类对称性，并询问第一个空间与第二个空间的相似程度。 但是将对称性转化为空间是什么意思呢？ 可以采用球体的每次旋转或反射并将其表示为空间中的一个点。彼此相似的旋转和反射（例如，旋转 59 度和旋转 60 度）由附近的点表示，而彼此不同的则由更远的点表示。总而言之，你最终会得到一个空间，其中的点索引了球体的所有旋转和反射。 你可以对微分同胚做一些等价的事情，这样两个微分同胚越相似，代表它们的点就越接近。你再次得到一个空间——与第一个不同——它的点索引了球体的所有微分同胚。 在某种意义上，表示微分同胚的空间会更大，因为微分同胚比刚性对称多。它还将包含表示刚性对称的空间，因为刚性对称本身是微分同胚的一个子集。 这两个空间并不完全相同，但 Smale 想知道它们是否在特定方式上松散等效。当两个空间可以通过拉伸和收缩而变形为彼此相似且不撕裂时，拓扑学家说它们是“同伦”（homotopy）等价的。因此，例如，单个点与圆盘是同伦的，因为你可以将圆盘缩小为一个点，或拉伸该点以填充圆盘。
斯蒂芬·斯梅尔 (Stephen Smale) 的户外照片，身穿棕色衬衫，站在树前 1959 年，Stephen Smale 提出了一个问题，即球体最简单的对称性如何与更复杂的形状变换方式相关联。 George M. Bergman，伯克利；资料来源：上沃尔法赫数学研究所档案 这是 Smale 在考虑球体的刚性对称性与球体的微分同胚相比时想到的比较类型。特别是，他想知道表示刚性对称的空间是否与表示三维球体的微分同胚的空间同伦。 这种表述问题的方式抓住了关于两种类型转换之间关系的一些重要信息。如果一个空间可以变形为另一个空间，那么从某种意义上说，这两个空间所代表的变换类型并没有什么不同。 剑桥大学的Oscar Randal-Williams说：“也许最简单的说法是，球体的唯一对称性是你所知道的那些来自刚性旋转和反射的对称性。” 引进不变量 在他 1959 年的论文中，Smale 自己证明了这个猜想对于二维球面是正确的：是的，微分同胚空间是同伦等价于刚性对称空间的。换句话说，在二维空间中，球体的对称性几乎仅限于明显的对称性。 在接下来的十年里，数学家证明了同样的说法对于五维或更多维的球体是错误的。然后，在 1983 年，Allen Hatcher 证明了这个猜想在维度 3 中是正确的，解决了 Smale 最初的问题。有了这个，Smale 猜想的最后一个开放案例是四维球体。（由于各种技术原因，四维情况对于拓扑学中的许多基本问题来说是最难解决的。） 我愚蠢地对奇维结果感到满意。 Tadayuki Watanabe，京都大学 解决它需要提出某种称为不变量的测试，它可以应用于所讨论的两个空间以确定它们是否同伦等价。数学家曾使用不变量来证明其他维度的 Smale 猜想，但这些不变量在第四维度中都不起作用。 不变量通常涉及在流形上构建某种几何构造。拓扑学中最基本的不变量之一涉及将表面切割成均匀的三角形瓦片。然后计算瓦片的数量，将其添加到顶点（瓷砖相交的角落）的数量，然后减去瓷砖边缘的数量。这个不变量称为表面的欧拉特性。如果结果是 2，你就知道你开始的表面是一个球体。 因此，当 Watanabe 处理这个问题时，他知道他需要一种新的不变量，能够为他提供有关四维球体对称空间的特征信息。他需要进行各种测试来区分它们（或确认它们是相同的）。对他来说幸运的是，另一位数学家一直在开发这样一种工具。 跟随链 在 1990 年代，Maxim Kontsevich 正在成为他那一代最著名的数学家之一。在众多兴趣中，他正在研究称为链的拓扑对象，它们是纠缠的环——就像两个相互缠绕的闭合弦环。 给定一个由两个环组成的链，一个基本的问题是：你能把环拉开，而不是将一个环拉开另一个环或撕开它们中的任何一个吗？答案并不总是显而易见的，但不变量可以梳理出来。 “你的例子可能看起来很复杂，但你必须找到一个能准确检测到它的不变量，”苏黎世瑞士联邦理工学院的Danica Kosanović说。 在 1800 年代早期，数学家高斯（Carl Friedrich Gauss） 提出了一个不变量，可以让你测试分离是否可行。要计算它，首先将你的两个环指定为 A 和 B。现在你将使用以下规则清点一个环出现在另一个环前面的所有次数：
每次环 A 从左到右经过环 B 时，分配一个 +1。 每次环 A 从右到左经过环 B 时，分配一个 +1。 每次环 A 从左到右经过环 B 时，分配一个 -1。 每次环 A 从右到左经过环 B 时，分配一个 -1。 高斯没有手工计算这些相互作用，而是设计了一个基于微积分的公式来计算它们。他考虑了两个点，每个点都必须沿着不同的环路之一移动，就像轨道上的火车一样。每次环交叉时，都会添加相应的 +1 或 -1。
总和称为两个环的链数。如果它不为零，你将立即知道环无法分开（如上图例子所示）。但是如果它是零，你就处于一种模棱两可的情况：一些链为 0 的纠缠环可以被拉开，而另一些则不能。换句话说，高斯的不变量不足以完全表征哪些链可以解开，哪些不能解开。 在 1990 年代，Kontsevich（受到物理学家 Edward Witten 工作的启发）发展了一个更强大的高斯链数版本。虽然高斯的不变量基于链中沿环移动的两点之间的相互作用，但 Kontsevich 意识到他可以通过考虑许多点之间的相互作用来更多地说明链的结构。 法国国家科学研究中心的Christine Lescop说：“如果你以巧妙的方式组合这些类型的配置，那么你就会获得不变量。” Kontsevich 在 1992 年欧洲数学大会的一次演讲中介绍了这种方法。他解释了如何计算复杂的积分公式，该公式计算链上移动的许多点之间的交叉点——每次发生特定交叉点时加减 1。他的公式比高斯的公式更精确。部分由于这项工作，Kontsevich 于 1998 年赢得了数学界最负盛名的奖项——菲尔兹奖。 在他介绍 Kontsevich 不变量的同一讲座中，他建议该技术不只适用于检测三维空间中一维链的属性。他提出，如果有适当的独创性，数学家可能会将其用作高维空间的不变量，包括 Smale 猜想的核心空间。 多年后，渡边想出了如何让它发挥作用。 进入第四维度 2006 年，Watanabe 成功地重新表述了 Kontsevich 的不变量以应用于 Smale 猜想。他首先重新证明了 Smale 猜想对于奇数维度 5 和更高维度是错误的这一事实，从而获得了感觉。他还通过识别不能简化为刚性对称的微分同胚的具体例子，超越了早期在这些维度上的工作。 这项工作提供了一种思考 Smale 猜想的新方法，并可能鼓励他去解决一个未解决的维度。但他并没有考虑将他的工作扩展到四维。 “我愚蠢地对奇维结果感到满意，”他说。
Tadayuki Watanabe 在灰色背景下身穿白衬衫的照片 Tadayuki Watanabe 通过重新设计一种用于理解环如何相互交叉的技术，解决了 Smale 猜想的最后一个开放案例。 由 Tadayuki Watanabe 提供 直到 2013 年，在日本札幌的一次会议上与数学家瑞安·巴德尼 (Ryan Budney) 的一次谈话中，渡边才开始考虑是否有可能做得更多。起初，他并不乐观。 “将我之前的结果扩展到其他维度存在技术困难，”他说。“现在我知道这并不是一件很难的事情，但当时我并没有很好地理解我的证明，无法克服它。” 2017 年，其他数学家（包括 Kupers）发表了另一篇论文，开始建议 Watanabe 如何克服它。最后，在2018年12月6日，他发表了一篇论文反驳了第四维的Smale猜想，完成了问题的最后一个开放维度。结果令数学家们大吃一惊，他们不习惯在更高维度上工作的技术能够很好地适应第四维。 “他有处理任何维度球体的方法。令人惊讶的是它在第四维中没有失败，”兰德尔-威廉姆斯说。 纤维上的流动 在其原始形式中，Kontsevich 的不变量捕获了链的纠缠程度。Watanabe 的非凡洞察力是，可以使用相同类型的不变量来说明四维球体微分同胚空间的复杂性。 举一个比 Watanabe 使用的更简单的例子，你的基地可能是一个圆圈。圆上的每个点都与一条垂直线相关联。将所有这些垂直线（纤维）收集到一个物体中，然后在圆上得到一个纤维束。该丛具有圆柱（称为平凡丛）或莫比乌斯带的形状。 在 Watanabe 的例子中，想象一个独特的二维圆盘存在于微分同胚空间的每个点上。这些圆盘就是纤维。将它们组合起来，你就有了一个纤维束，它编码了底层空间的属性，但以更丰富的方式。 Watanabe 考虑了点如何在这个纤维丛上流动，就像 Gauss 和 Kontsevich 研究了点在链上流动或移动的方式一样。流动点交叉的方式传达了有关它们流动的纤维束复杂性的信息。 [你想知道]那里住着什么奇怪的家庭，住着什么你没有想到的疯狂生物。 Alexander Kupers，多伦多大学士嘉堡分校 “我们看到围绕我们的纤维束的纤维的点配置，并在某种程度上检测发生了什么。这就像你在对几何空间进行采样，”Kosanović 说。 球体（或基于球体的纤维丛）的刚性对称空间的 Kontsevich 不变量为零。这很容易计算并表明该空间的潜在简单性。为了解决四个维度的 Smale 猜想，Watanabe 必须弄清楚如何基于微分同胚空间计算纤维丛的 Kontsevich 不变量。如果结果不为零，则 Smale 猜想将是错误的。 但是弄清楚如何计算纤维束上流动点之间的相互作用并不是一项简单的任务。“这些不变量很难计算，”Lescop 说。“他的建筑非常巧妙。” 最终，渡边利用他在研究一个称为莫尔斯理论的数学领域所获得的见解设计了一个计算特定交叉点数量的公式。他证明了不变量是非零的，这意味着流动发生的空间是复杂的——用数学家的话来说是不平凡的。纤维丛很复杂，因为微分同胚很复杂——就像与刚性对称空间相关的纤维丛很简单，因为这些对称性很简单。 Randal-Williams 说：“如果微分同胚是微不足道的，那么你制作的丛就微不足道了。” 因为 Watanabe 证明了基于球体微分同胚的纤维丛的 Kontsevich 不变量是非零的，所以他证明了在第 4 维 Smale 猜想是错误的。从根本上说，微分同胚和它们的不同类型比刚性对称要多。 谜团还在继续 Watanabe 的结果关闭了数学研究的一个前沿问题。它也打开了另一个。 在他的工作之后，数学家们知道 Smale 猜想在所有 4 维和更高的维度上都是错误的。也就是说，这些球体的微分同胚太复杂，不能简化为旋转和反射。从那时起，数学家们一直在加紧努力来识别这些微分同胚。 “[你想知道]那里住着什么奇怪的家庭，那里住着什么你没有想到的疯狂生物，”库珀斯说。 在这个方向上的一些初步结果出现在 Watanabe 的工作之前。2015 年，明斯特大学的 Michael Weiss发现了一些偶数维度大于 4 的球体的异常微分同胚的零星例子。 但最近渡边和其他人开始理解偶维球体的所有微分同胚，从第六维开始。在 2020 年，Kupers 和 Randal-Williams 证明了存在一系列微分同胚，其中要么没有导致 Smale 猜想为假的微分同胚族，要么只有 Weiss 族——这意味着，对于这些高维球体，微分同胚在这些范围并不是完全背离刚性对称性的范围。 然后，在去年 9 月，渡边证明了一个互补的结果，表明存在大量的微分同胚族，可以证明是异常对称性的原因。他的结果表明，Smale 猜想在这些维度上是错误的一个主要原因是那些微分同胚族的行为。 “非常有趣的是，[Kupers 和 Randal-Williams] 也发现了一些与我的现象相符的现象，”渡边说。 不过，这些最近的论文都与维度四无关。在那里，数学家们现在知道 Smale 猜想是错误的，但目前几乎没有希望确定导致它如此的微分同胚。 解决了拓扑学最难的维度中的一个谜团后，数学家现在必须注视另一个。
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