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解开乱作一团的绳子可要比看上去困难得多，但对此的努力却可谓物有所值，Richard Elwes如是说 在魔术表演里，它远不及将助手大断活人，或者空帽抽兔那么吸引眼球。但对数学家而言，魔术师所有的剧目中，没有什么能比突然消失的绳结更加激动人心的了。锣声振天，鼓声彻地，伴随着一记得意洋洋的“变！”，一团错乱到无法想象的绳结在魔术师手中恢复成了一条顺滑的绳索。 但任何一个曾与自己永不妥协的鞋带斗争过的人都会告诉你，这种小把戏对解开老式的绳结可以说百无一用。而成功的秘密则隐藏在充分的准备中：魔术师为了达到预想的效果，事先就已经小心翼翼、按图索骥的将绳子打好了特殊的结。但又是什么确保这些绳结每次都能如此准确的被拉直，而你的鞋带却做不到呢？ 这类问题其实意义深远。DNA分子常以拜占庭式纽结（Byzantine tangles，拜占庭艺术中一种常见的装饰纹样，而拜占庭艺术正以其超现实性闻名，译者注）的形态出现，而无论其是否能被解开，这都似乎是导致基因突变的决定性因素——也就是所谓进化的原动力。充斥我们生活的各种聚合物所表现出的力学性质，在很大程度上也取决于他们绵长的分子之间以什么形式缠绕。而物理学中，纽结却出乎意料的出现在贯穿量子计算到统计力学的基本原理领域。 但头痛的是，要漂亮的解答魔术师之结却显得相当棘手。对此，一项被称为纽结理论的新数学分支已经发展成型。而在过去的两个世纪中，对如何快速解决这类难题的思索，始终纠缠在一些顶尖数学家的脑海：如果给你一对随机纠缠起来的线团，你如何才能辨明他们究竟是不同类型的纽结，还是经过伪装的孪生兄弟？ 但现在，我们似乎接近了答案，一种完美的、清晰透彻的描述各种纽结的方法仿佛指日可待。不止如此，一旦跨过这蜿蜒曲折的纽结研究道路上最后一个障碍，其基本原理将能大白天下，甚至为某种新的对物理现实的认知来指明前路。 数学家在揣摩这些扭成一团的绳索时，第一步都会小心翼翼的——而不是像我们这样——确保绳子的两个端点顺利合并，构成一个封闭的环。这让绳结被自身约束，并能完全自由的被拉扯和扭曲，却不会因此而改变绳环的基本缠绕方式。当然，在线团操作的同时剪开并粘合绳索是绝对禁止的。 按照这一定义，最基本的纽结形式其实是我们习以为常的圆环。这能算什么结？你可能在嘀咕，但事实上它的学名叫“平凡纽结”（unknot，原为动词，解开绳结，但做名词则特指纽结理论中的平凡纽结，译者注）。尽管貌似无足轻重，低人一等的平凡纽结却揭示了一条最为基本的困扰：随着你任意的延展弯曲，它能展现出无数种不同的卷绕姿态。如果你循规蹈矩的拉扯一个乱作一团的线球，或许它最终会和魔术师之结一样简化成一个平凡纽结，当然，也可能完全不会。 对于两个同样打上了结的绳圈，要想分辨它们是否是经过巧妙伪装的同胞兄弟，最简单的方法或许只能是实验：不停尝试着将其中的一个拉扯成另外一个的样子，也就是说，每一个重叠和交叉的位置都要相同。从19世纪就开始不遗余力编撰的纽结目录对此提供了有价值的参考。 对于比较简单的纽结，这还是个不错的方法，但随着纽结中交错的增加，需要比较的可能状态以指数方式飞增，工作将变得复杂至极。区区12个交错，就让人不得不考虑2000多个截然不同的纽结。这种复杂性甚至曾让那些纽结编录的先锋们马失前蹄：有些目录里收录的纽结样本在几十年之后才开始为人关注（如佩尔库纽结对，参见下图）。（Perko pair，佩尔库纽结对，下图1/8与8/8，中间为其转换过程，经典纽结分类中一对等价的纽结，交错数均为10，十九世纪末由Peter Guthrie Tait编撰的纽结目录中曾遗漏其中一种，直到百年后的二十世纪后期（1974年）业余地质学家Kenneth Perko完善目录时才引入，并发现两者等价性，因此得名，译者注）
纽结理论至此陷入了一种僵局，甚至在二十世纪的大部分时间中都处于停滞。尽管偶尔也有所突破，但暴力试验和一次次的挫败好比强弩之末，已无法高效的来区分纽结。而对于更流畅平滑的数学算法的探索也是举步维艰。 就在此时，一个转机出现了，而且，它出现的方向出乎意料。1984年，Vaughan Jones——一位在费城宾夕法尼亚大学任职的新西兰学者——在研究量子力学的数学基础时，开始注意到自己的结论和纽结理论存在某些方面的相似性。这一偶然的发现迅速的促使了一些简单并能用于精确拆解纽结问题的代数计算被发现。 Jones所提出的是一条关于三种不同的打结方式的代数定律，这三种方式的区别仅仅体现在交叉点上：第一种是上交错，第二种是下交错，第三种是不交错。通过在每一个交错点运用Jones的定律，一个复杂的纽结能被有效的分解为一连串平凡纽结。最终得到的是一系列数学表达式，再利用一点代数技巧，我们就可以从中得到一个刻画原始扭结的数学特性的简单方程。虽然这些数学把戏与真正解开绳结相联系的方式，以及在这些公式背后隐藏着的信息还笼罩在迷雾之中，但重要的是，无论你怎么拉扯与扭曲最初的纽结来混淆视听，他们所表现出的方程式却是相同的。换句话说，Jones的方程对每个特定的纽结而言是一个“不变量”，由此，它引发了数学家们的高度重视。
凭借其易于计算与强劲有力的特点，Jones不变量已经在各个与纽结相关的科学领域成为一项不可或缺的工具。典型的例子是生物化学，它被用于分析如拓扑异构酶与重组酶的断裂，以及DNA分子链在细胞复制时的解旋编译过程。而在Jones的发现之前，为了解决这类问题，需要在数学上使用复杂原始的公式手工计算。这一不变量提供了一个比较DNA序列前后变化的简单方法，由此，一些酶的作用才开始初露端倪。 而在这些领域斩获颇丰的Jones不变量却还有其局限性。为了真正刻画扭结的特性，一个不变量应该能够在两个方向上都管用：同样的扭结对应的应该是同样的不变量，反过来同样的不变量应该也对应的是同样的扭结。对Jones多项式来说，第二个条件是不满足的，因为两个不同的扭结也有可能对应相同的Jones多项式。 对于Jones的理论的改进——称为“量子不变量”，因为它们最初来源于量子力学中的数学——一个个接踵而至。但都谈不上完美，纽结描述的唯一性也不尽完善。与此同时，一个与生俱来的迷团却愈发凸显：这些张牙舞爪的代数式到底从何而来？它们所表征的又是纽结的什么特性呢？ 回答这些问题需要从根本上改变思路。1989年，两个独自研究的俄国人，来自莫斯科独立大学的Victor Vassiliev和莫斯科Steklov数学协会的Mikhail Goussarov，都考察了在假设绳与绳之间可径直穿透而不是发生交错的情况下，纽结所表现出的特性。看上去似乎是在用一个古灵精怪的方法解决问题——毕竟，真正的绳结做不出那种事来——但这份努力却物有所值。纵览这些新式的纽结，一个让人眼花缭乱的、被称为“有限型”不变量的序列慢慢浮现。 个别说来，一些有限型不变量已被用于解决凝聚态物理学（polymer physics，一门以物质的宏观物理性质作为主要研究对象的学科，“凝聚态”指由大量粒子组成，且粒子间有很强的相互作用的系统，如固体和液体，译者注）中的难题，但对数学家而言，它们纯粹数字外表的背后却有着值得挖掘的强大力量。事实上，任何描述这些特殊纽结的序列都包含着无数个有限型不变量，并且现在研究人员已证实，这些不变量所组成的序列可以被整合、重构成Jones不变量，或者其他能将真实绳结相互区分的量子不变量。 Vassiliev的观察可谓更进一步。在所有他研究的纽结中，他注意到，被完全相同的有限型不变量序列所描述的例子从未出现。这促使他提出了著名的推论：如果两个纽结真的彼此不同，那么他们间将至少有一项有限型不变量会存在区别。同样的，如果描述两个纽结的有限型不变量完全相同，那么他们必定是同一个纽结。 目前为止，不遵循Vassiliev推论的纽结还没有被发现。似乎该做结案陈词了，你也许会觉得：有限型不变量的序列对于纽结来说，几乎已成为一对一的“指纹”。但数学家们却总显得欲求不满，先不提怎么考证它的逆命题，这一求解已经够麻烦的了，我们为什么要忍受这无数多个不变量来区分纽结，就没有一个简单点的数学公式能胜任这个工作么？ 在1993年，数学家Maxim Kontsevich似乎就提出了这么个整洁的公式。他在德国波恩大学工作期间，发现了一种能将纽结中包含的所有有限型不变量浓缩成一个紧凑干练的表达式，现在被直接称为Kontsevich积分法。Kontsevich正是凭借包括此研究在内的4项卓越成果，在1998年被授予了菲尔兹奖——相当于数学界的诺贝尔奖，Jones在八年前获得了同样的殊荣。 这就是让我们苦苦守候的白马王子么？Kontsevich积分法是否真的能整洁高效、弹无虚发的分辨任意一对纽结？很多人对此心存赞同，但其结果却依然根植于Vassiliev关于有限型不变量的推论。如果它被成功论证，Kontsevich的方法就可谓天衣无缝。但若反之，我们又将继续回到一片混沌的探索之中。 耀眼的突破 先不管结局如何，虽然Kontsevich积分法已经减少了大量的运算，但它依旧复杂不堪。事实上，连写下某个描述纽结的算式都是一项艰巨的任务，而用以毫发无损的解开绳结的积分更是个令人恐惧的代数式，与Jones不变量的紧凑简洁有着天壤之别。可惜的是，你能用的只有这些工具，在90年代，Kontsevich的计算法是唯一被广为流传的。而现在，纽结理论研究者们的努力慢慢转向了对有限型不变量的本质理解、对猛兽般狂野的积分式的驯服以及对Vassiliev推论的证明。与此同时，这一系列概念，已经在一种试图描述生物学庞大数据库中千奇百怪分子的新兴技术里证明了自己的价值。 而后，到了1999年，激动人心的突破再次降临——又来自出人意料的犄角旮旯。这种完全不同的技巧不仅催生了新一代的纽结不变量，还暗示出纽结背后隐藏的数学理论的重要性也许比我们所怀疑的更为深厚。而它就是“范畴化”。（categorification，范畴化，数学术语，既categorization（分类，编目）与词根-fication（…化）的结合再造词，译者注） 范畴化将数学中一条最常见的指导性逻辑——对真实世界的抽象与精简——进行了彻底的颠覆。固然抽象与精简的概念值得称赞，但其对结果的描述往往与我们的期望相比显得过于简单。在我们初学算术时经历过的那些小小挫折就是很好的例子：为什么三只苹果和三只桔子都能被简化为同一个数字“3”，尽管两种事物完全不同？ 那是因为，“3”在数学上的构成——即传统数字系统——是对它所代表的任意事物的一种抽象精简。在这种情况下，范畴化一个目的就是用一种层次更为丰富的架构取而代之，也就是引入一种“分类”概念（category，意为范畴、分类，“范畴化”的译名由此而来，此处用“分类”解释，以便读者理解，译者注），而被严格的等式所定义的数字系统——比如“1+2=3”——将被这种对不同类型的事物做比较时更不照本宣科的方式所取代。这种分类提供了一种数字本身所无法具备的真实世界中的灵活性：即使事物的数量相同，它们也能分属不同的类型。相对这种架构，传统数字系统好比是将其抽去分类概念的缩影，就如同把所有数量为3的事物压缩成同一个描述：数字3。
对于数字系统提出的理论，在其他的数学元素上又能否适用呢？1999年，当加州大学的数学家Mikhail Khovanov重温Jones不变量时提出了如此的疑问。与将其化为有限型不变量而简化计算的方法不同，他另辟蹊径的使用了某种更为宏观的架构来取代之前那些明显处理的过于草率的抽象化缩影。 而这一研究一鸣惊人。他引入的分类可谓包罗万象，虽然在概念上仍然有些难以理解，但其在数学上的灵活轻便却让Kontsevich积分法都望尘莫及，同时相对于Jones方程，它对于纽结本质的描述显得更为可信。更进一步的是，2006年，多谢加拿大多伦多大学的Dror Bar-Natan编写了一个精巧的计算机程序，在它的帮助下，这一理论已经可以高效的处理任何纽结模型，同时也暗中扩大了它对于其他研究领域的价值。 但即使是Khovanov的分类法，也难免百密一疏：仍旧有一些顽固的纽结特例同属于同一分类。研究因此继续，直到2005年，在北卡罗莱纳大学Lev Rozansky的合作下，Khovanov公开了一种全新的、立足于更高层次的不变量处理方法。它不仅将许多超越Jones方程的量子不变量做了范畴化，还揉合了Khovanov自创的类型，以及当时新发现的一些纽结不变量。 Khovanov-Rozansky范畴化的力量已一举将我们推到了完美的纽结描述大门之前，虽然初步迹象表明，真理之船还没正式靠岸。在将松散一地的纽结问题扎紧打包之前，仍有一些量子不变量留待并入其中。但无论如何，我们都似乎步步逼近着那终极的数学答案。 而受早先在范畴化研究中取得的丰富经验启发，物理学家和数学家又有了新点子：这个方法或许不只适用于纽结。回想一下量子理论和纽结之间的关系，Jones正是由此而获得启发。有些研究学者认为，他们已经获得了一个撩人的暗示：整个数学物理（mathematical physics，数学与物理学的交叉领域，旨在用某些数学方法来研究特定的物理学问题，是重要的物理学研究方法，译者注）也许只是某些更大的范畴化架构的缩影。 同时，在范畴化之后的量子力学与爱因斯坦相对论之间，某种惊人的相似性也已被发现——这对近代物理学赖以支撑的兄弟理论之前普遍被认为从根本上就不能相容。加州大学的John Baez、Alexander Hoffnung以及Christopher Rogers已经论证了弦理论——一个向大统一理论迈进的漂亮起点——可以被视作一种范畴化了的的粒子物理学（论文网址：http:///abs/0808.0246）。（particle physics，粒子物理学，是研究物质和射线中的基本粒子以及它们的相对作用的物理学分支，由于需要使用类似LHC大强子对撞机产生的高能粒子碰撞进行研究，又被称为高能物理学，译者注） 一旦发现某种能够合并相对论和量子理论的范畴化方法，那么也许就能证明物理学家们所谓的两种理论的失调只是个假象。而最终所有物理分支间这些纠葛缠绕的联系，不得不说是平凡无奇的小小纽结赢得的一次范畴化的胜利。（categorical triumph，范畴化的胜利，也可译做“绝对的胜利”或“无条件的胜利”，漂亮的双关结尾，本章标题“Categorical breakthrough”中也同样使用了同样手法，译者注）● Richard Elwes是一位居于英国利兹的数学家及作家 |
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