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数学思维是目前心理学，思维科学及数学教育学都在积极研究的课题。 数学思维是一种特殊的思维形式，它既有思维科学的一般特征又具有数学本身的独特形式。数学的理论及构造体系表现在思维形式中，逻辑思维是其核心部分，不同形式的思维形式往往与逻辑思维过程相伴而生，互相发生影响。 人类正确的思维和有限的思想交流，必须要有确定性，一种正确思维和有限的思想交流还要求具有论证性，即每一个确定的思维或论断要表明为什么是真或为什么是假。这些思维规律的发展，使思维形成了以概念，判断，推理的逻辑形态来反映人们对客观事物的认识和理解。 当人们以概念的形态反映客观事物时，或者当一个概念转化为另一个概念时，概念必须有确切的内涵。当人们对客观对象作出判断的时候，必须保持思维前后过程的一贯性，绝不能互相矛盾。当人们运用概念，判断进行推理时，思维过程必须具有逻辑性，否则就不会形成科学的分析和推断。逻辑思维正是在人们思维的发展过程中，形成了形式逻辑的规律和辩证逻辑思维的规律。近代对数学符号，数学方法等形式化方法的应用，使现代逻辑中的形式逻辑又发展形成了一种应用很广的数理逻辑形式。 一．形式逻辑 形式逻辑是研究思维的形式结构及其规律的科学，它以思维形式及其规律，方法为研究对象。形式逻辑在运用概念，判断，推理的思维形式时，舍弃个别的，具体的思维内容，从形式结构方面研究概念，判断和推理以及其正确联系的规律。形式逻辑的主要思维形式规律是同一律，矛盾律，排中律和充足理由律，主要思维方法有比较与分类，分析与综合，归纳与演绎等。 二．数理逻辑 数理逻辑是一种可以看作是“数学化”或数学符号化了的逻辑。它是在原来的形式逻辑基础上发展起来的逻辑形式。逻辑思维要求的确定性和非歧义性，在数理逻辑中得到了充分的体系。数理逻辑最早由莱布尼茨，布尔为代表的数学家提倡并得以发展，经20世纪初叶数学基础学派的进一步推动，最后发展形成了今日的数理逻辑。 形式逻辑在其发展中，已经应用了一些数学符号，数理逻辑则使思维的演算过程完全数学符号化，运用形式化，数学化的语言表现逻辑运演形式。在数理逻辑中数学的方法得到了充分的展示。数理逻辑从对形式逻辑的研究，扩展到对数学证明，数学公理化方法的研究，直到发展为对广泛应用的自动控制系统及电子计算机领域的研究。可以认为，数学思维，数学方法在与传统逻辑学的结合中，发挥了巨大大超乎人们原来想象的作用。 三．辩证逻辑 形式逻辑研究思维的形式及规律，但是思维内容及思维形式的发展演变却无法在形式逻辑中得到研究。辩证逻辑克服了形式逻辑的片面性和局限性，揭示了思维发展中的矛盾性，辩证性。它不是思维外在形式的学说，而是研究概念的矛盾与转化。辩证逻辑运用的思维方法要求归纳与演绎相结合，分析与综合相结合，抽象与具体相结合等。 数学思维中也常常出现辩证逻辑的思维形式。如数学中无限与有限问题的转化（最有代表性的是微积分中极限概念的形式），概率论中偶然现象和必然规律的转化，解析几何中点与数之间 的转化等。这些都表明，数学思维中辩证逻辑的思维形式是存在的，而且在许多重大数学概念的形成过程中辩证思维发挥了巨大的作用。有些数学概念，数学命题表现的形式是一种形式逻辑，但它在发展与形成的过程中，却包含着许多辩证逻辑的思维形式。 |
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