- 问：
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参考例题
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- 题目：
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已知：如图1,在平面直角坐标系中,点A(a,0),B(b,0),C(0,c),且|a b| (c−a)2=0，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动。连接PA，PB. (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)设点P运动的时间为t秒,D为AC上的动点(不与A. C两点重合)问：当t为何值时，DP与DB垂直相等?并直接写出此时点D的坐标。 (3)如图2,若PA>AB,以PA为边作等边△APQ,使△APQ与△ABP位于AP的同侧,直线BQ与y轴、直线PA交于点E. F,请找出线段PE,EQ,OE之间的数量关系(等量关系)，并说明理由。 
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- 考点：
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三角形综合题
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- 分析：
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（1）由非负性判断出a=c=-b，进而得出OA=OB=OC，再由△ABC的面积求出OA=OB=OC=3，即可得出结论；
（2）构造全等三角形得出DM=DN，进而得出OM=ON=，用BM=PN建立方程即可得出结论；
（3）先判断出∠AQG=∠APO，得出AE=AG，∠PAE=∠QAG，进而判断出△AEG是等边三角形，得出EG=2OE，即可得出结论．
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- 解答：
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(1)∵|a b| (c−a)2=0， ∴a b=0，c−a=0， ∴a=c=−b， ∴|a|=|b|=|c|， ∵A(a,0),B(b,0),C(0,c)， ∴OA=OB=OC， ∵△ABC的面积为9， ∴12(OA OB)×OC=OA2=9， ∴OA=3， ∴OA=OB=OC=3， ∴b=−a=−c=3， ∴A(−3,0),B(3,0),C(0,3)，
(2)如图1, 过点D作DM⊥AB于M，DN⊥OC于N， ∴∠BMD=PND=90∘， ∵∠AOC=90∘， ∴四边形DMON是矩形， ∴ON=DM,OM=DN,∠MDN=90∘， ∵DP⊥DB， ∴∠BDP=90∘， ∴∠BDM=∠PDN， 在△BDM和△PDN中,⎧⎩⎨⎪⎪∠BMD=∠PND=90∘∠BDM=∠PDNBD=PD ∴△BDM≌△PDN， ∴PN=BM，DM=DN， ∵A(−3,0),C(0,−3)， ∴直线AC的解析式为y=−x−3， ∵点D在线段AC上，且在第三象限内， ∴DM=DN=32， ∴ON=OM=32， ∴D(−32,−32),BM=OM OB=92， PN=OP−ON=OC CP−ON=3 t−32=t 32， ∴t 32=92， ∴t=3； 即：t=3秒时,DP与DB垂直相等,此时,D(−32,−32)；
(3)PE−EQ=2OE.理由：如图2， 连接OE，在QF上取一点G，使QG=PE， ∵△APQ是等边三角形， ∴AQ=AP=PQ,∠PAQ=∠APQ=60∘ ∵OP⊥AB，OA=OB， ∴PA=PB， ∴PB=PQ，∠APO=∠BPO， ∴∠BPQ=60∘−2∠APO， ∵∠AQG=∠PQB−∠AQP=∠PQB−60∘=12(180∘−∠BPQ)−60∘=12(180∘−60∘ 2∠APO)−60∘=∠APO， 在△APE和△AQG中,⎧⎩⎨⎪⎪AP=AQ∠APO=∠AQGPE=QG, ∴△APE≌△AQG， ∴AE=AG，∠PAE=∠QAG， ∴∠EAG=∠PAQ=60∘， ∴△AEG是等边三角形， ∴EG=AE,∠AEG=60∘， ∴∠AEB=120∘， ∵OE⊥AB，OA=OB， ∴BE=AE， ∴∠AEO=∠BEO=60∘， 在Rt△AOE中，AE=2OE， ∴EG=2OE， ∴QG=EQ EG=EQ 2OE， ∵QG=PE， ∴PE=EQ 2OE， 即：PE−EQ=2OE.
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