|
编者注：本文由崔维征、吴泳时译自 The Encyclopedia of Ignorance，中译本刊登于《世界科学》。作者彭罗斯是英国数学物理学家，30年前因为对广义相对论中的霍金-彭罗斯奇点定理的贡献，而与霍金分享了1988年的沃尔夫物理学奖。1994年，因其卓越贡献曾被封爵士。彭罗斯有许多脍炙人口的著作，如《皇帝的新脑》与The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe。后一本书可与英国另一名受封爵士的数学家Gowers所主编的《普林斯顿数学指南》相媲美。我们推荐给所有对数学物理有兴趣的读者（请读Penrose的英文原版，因为中译本很糟糕）。 自然界和数 “ 造物主无疑是狡黯的, 但她肯定没有恶意。” 至少是凭借爱因斯坦的权威, 我们可以这样说。可是,自然界是复的吗? “ 复的“这个词在这里不止一种意思: 首先, 跟“ 狡黯”相比, 它更接近于“ 复杂“的意思；其次,它还包含一种有关数的性质的数学意义（编者按按：即复数——”复“在这里是复合的意思，这在日文里说得更到位：日语叫“複素数”，也就是“有着两个要素的数”，这两个要素即实部和虚部）。 自然界至少在相当大程度上可以按照数的法则予以有效描述。几千年来以来，这一直是非常明显的。但是, 缺乏数学基础的人所不熟悉的是: 有种种不同 类型的数, 有的还服从于同样的运算规则。 最原始的是所谓自然数 0 ,1,2, 3 , 4 … 正是借助于这些数, 人们可以定量地描述世界上几乎任何事物。我们可以谈论3 个苹果、17 个鸡蛋、0只鸡、500 个人, 或者多少个氢原子、多少次日食、多少次闪电等等。进一步的抽象出现了整数系: …, -3 , -2 , -1, 0，1, 2 , 3 , … 起初这一些是为了方便而定义的, 引入它们是要使算术规则更加系统化, 更易于处理。但是世界上有不少事物不能用它们做定量描述。例如, 我们不可能精确地说在房间里有 -3 个人! 另一方面, 也有各式各样稍微抽象一点的概念可以用整数描述;银行的收支差额恐怕就是一个最容易想到的例子。整数在基础物理学中也发挥了它们的作用。由整数精确地定量描述的物理属性, 最明显的例证看来就是电荷。就现在从精密的实验所知, 存在着一种电荷的基本单位, 即质子电荷; 用这种电荷单位进行描述,自然界中其它一切系统所带电荷都是严格的整数:或正、或负、或零。(如果最终发现假设的夸克是作为自由粒子而存在— 迄今对夸克粒子的大力搜寻仍然没有结果— 那么这种电荷单位本身的数值必须除以三, 但物理系统依然能用整数电荷值描述。)还有别的人们不太熟悉的物理量也可以用整数来描述, 例如重子数、各种( 推测中的)轻子数和物理系统绕某个轴的量子力学自旋等等。 尽管引入负整数简化了减法运算, 但除法运算却还不行。为此需要引进分数 任何两个这样的数都可以相加、相减、相乘或相除( 当然0不能作为除数)。虽然在数学上是方便了, 但是在定量描述自然特点方面分数系看来没有起什么明显的作用。人们显然还必须进一步抽象, 把一切所谓的实数都包括进来: 这里每个数都能用(带符号的)无穷位小数展开来表示。它们的有限次算术运算规则与分数完全一样; 但实数系则更为完备, 即在其中可以进行某些无穷的运算。特别是, 存在着无穷级数, 例如: 按照通常接受的看法, 时间和距离的量度要用实数予以描述。看来, 的确是这些物理观念提供了发明实数的原始动机。在实数这个数学概念被正式引入之前, 著名的”芝诺悖论“就已经出现了。这些悖论表达了人们对于长期以来所感到的时间和空间连续性的困惑。由于现在掌握了实数系的严格数学概念, 这个问题看 来已经解决了。事实上, 这一直是实数这个概念所享有的成功, 以致于现在很难想象空间和时间还能用其它方法描述。人们得到一种强烈的印象, 即时间和空间本身就是连续的— 恰好具有在实数系中得到严格表述的那种连续性( 当然要记住, 空间是三维的, 而不是一维的)。但是, 或许我们正在被表面现象和长期以来对实数的熟悉所蒙蔽。这使我们把时空在普通尺度上表现的连续性外推到无穷小似乎很自然。但最后可能证明, 在极小尺度上时间和空间并不具有迄今赋予它们的那种连续性。根据我和另一些人的看法, 我们认识中的这一根本转变很可能 就快会出现。 如果我们接受当代物理学所绘出的图象, 实数系源源不断地提供了为把物理概念定量化而一再得出的要素。例如速度、能量、动量、频率、质量、温度、密度、力等等。然而用实数来描述它们可以溯源到空间和时间的实数连续性。所以从同样是使用这些数的观察当中,实质上得不到新的东西。 不过, 数学的发展并没有到此为止。尽管减法、除法与无穷级数已经在实数范围内成为系统的概念, 代数方程的求解却不能完全在实数范围内完成。例如下面这个看上去很简单的方程 就没有实数解。而外观上相似的另一方程 最初, 复数概念看上去有点令人迷惑不解。人们已经习惯于认为负数实际上没有平方根。尽管“ 复数”无疑是逻辑上自洽的, 但它们或许只不过是为了数学上的方便而引入的一种形式的工具。在数学上复数肯定是方便的！不仅取平方根不成问题了, 而且取立方根、五次方根及任意复数( 也许0除外) 的任意复数次幂等等也确实都不成问题了。此外, 任意次的多项式方程现在可以用完全系统的方式求 解。大量以前没有意料到的新性质显出无比威力, 而且格外优美。复数系在抽象数学观念的王国里占据了显赫的位置, 对此不可能还有怀疑。况且, 复数并不单单是一种“ 方便“, 它们有生存的权利。然而人们可能依然留恋于这样的想法, 即复数并不是“ 实在”的一部分, 它们只是人类思维的创造。 然而, 如果我们一定要问, 为什么实数本身给人以具有真实性的印象,而复数却似乎并不存在呢? 部分原因是由于不熟悉。我们已习惯于用实数（或至少用有限位小数) 进行计算, 从很小的时候起便与它们接触。但我们即使遇到复数, 也是在很晚的时候。更重要的一个原因是, 我们感到物理测量, 特别是空间和时间的测量, 用的都是实数; 而对复数系来说, 并没有如此明显的物理实体能“ 感觉” 到它们。 至少经典物理学看来是这样。随着量子力学的出现, 情况变了。因为复数在量子理论的一条最基本的公理中起决定性作用。尽管这一事实对亚微观世界物理学是重要的, 它在宏观尺度上却渐渐失去了意义。然而复数的作用还是能够在任意尺度物理现象的本质中领悟出来— 特别是涉及相对论的那些现象。的确, 我们这个世界的几何要比它乍看上去更“ 复杂“。 复数的几何
丝毫没有涉及其复共轭 x-iy 。这种全纯性质是重要的, 它的出现只是由于问题已根据相对论正确作了处理; 在牛顿理论中出现不了这样的结果。复分析的全部威力和优美只有考虑到全纯性质才能真正体现出来。在此我们开始看到的, 正是相对论的空时几何与复空间的全纯几何之间富有成效的交流的第一步。 扭量 实际上, 我们刚才研究了光子空间几何的一个方面。那些进人我们两位观察者眼睛的光子是用复数作为全纯坐标, 这是第一个迹象表明，所有可能的光子的空间实际上是一个复空间。就是说不同的(经典)光子态可以用复参数全纯地描述。光子是一种无质量粒子。所有无质量粒子都以光速运动, 但光子与其它此种粒子的区别在于: 它绕运动方面的自旋大小为朴其它粒子的自旋值则是几的不同倍数。 无质量粒子可以直观地用空时中所画直线即世界线来体现。但这不是严格准确的, 因为自旋不为零的粒子并不完全定域。更准确地说，( 经典的)无质量粒子 的状态, 应当用其能量、动量及围绕某原点的相对论性角动量来描述。所有这些信息已被证明可以“ 编码”为某种叫做扭量的复数量; 这种扭量(全纯地)依赖于四个复数参量。 这些扭量可作为初始要素, 用以探讨一种代替时空点作用的物理学。我们用扭量来描写粒子, 代替空时轨迹的描述。我们可认为扭量在概念上位于点与粒子之间。点本身要从扭量造出, 粒子也同样如此。已证明: 为了代替量子力学中粒子的波函数,我们需要一个或多个扭量的全纯函数。单扭量粒子都是无质量的( 光子、引力子… … ) ; 双扭量粒子看来是“ 轻子”( 电子、μ介子… … ) ; 三扭量粒子则为“ 强子“ 质子、中子、π介子… … ) ; 同时也可能有四扭量粒子等等, 它们形成更多的粒子家族( 例如新发现的J /ψ粒子)。此外, 在必要时所用扭量的数目可以表观上增加, 使n扭量粒子也能起( n+1) 扭量粒子的作用。因此, 通常的空时描述完全被取消掉了, 虽然必要时也可以翻译为空时术语。到目前为止, 这样提出的基本粒子指述一定会被认为有很大的臆测性, 然而有关的数学看来却很迷人——而所提出的分类方案看来也与标准的基本粒子理论的已知结果也相互吻合。 我的论点是: 我们这个世界用扭量来描述比用空时描述更为基本。在经典的宏观尺度上而不涉及广义相对论时, 这两种描述是等价的; 但对量子粒子的微观世界(例如在10^{-13} 厘米或更小的尺度上), 我认为扭量描述最终将给出一个更为精确的图象。而且, 扭量的几何从根本上就是复的, 它正在实现量子 力学原理和几何观念的实质性结合。 下一步向何处去? 比复数更复杂的数怎么样呢? 数学上定义了诸如四元数、八元数及其它各种不同种类的对象。但是每一次都证明必须牺牲一些算术定则。假如我们希望这些定则原封不动地保留下来, 我们就只能前进到复数为止。况且, 如不保留这些算术定则, 看来就不可能得到合适的函数理论。 具有讽刺意味的是, 以二维连续性为标志的复数, 第一次以基本方法引入物理学时, 却是为了对具有不连续( 分立) 性现象进行数学描述。量子理论,就象它的名称所意味的, 是立意要处理分立现象的理论, 却又以适用复连续统作为基础。这并不象它初看上去那么自相矛盾。在复连续性和分立性之间存在着一定的亲缘关系— 反映了量子物理中波粒二象性的一种二重性。全纯函数显示出一种实变函数所完全没有的刚性。在标准的量子理论中已经从像是沼泽的复连续性中显出了分立性。对于扭量理论,可以说更是如此。特别是, 电荷以某一定值的整倍 数出现这个事实在此理论中得到了解释— 这是全纯函数刚性的一个推论。 所以, 也许我们最终将兜一个圈子。通过将数的概念从我们有直接经验的自然数开始尽可能地予以推广, 同时最大限度地保留运算性质, 我们宛如又回到似乎已被我们遗忘的分立性。或许, 物理定律最终具有基本上是分立的简单组合本性— 但就我们目前的知识水平而言, 似乎正是复连续统为更深入地理解物理世界提供最清晰的航线。 |
|
|
