高中数学：图形的全等与相似

一、图形的全等

例1、如图1，在正方体中，M、N分别是棱AB、BC上的点，P是棱的中点。求M、N在什么位置时，PB⊥面，并证明之。

图1

剖析：当M、N分别是棱AB、BC的中点时，PB⊥面

连接AC、DB，则AC⊥DB

又PD⊥AC，由三垂线定理得AC⊥PB

在正方形ABCD中，由MN∥AC，得MN⊥PB

取中点E，连接PE，则PE⊥面

在正方形中，

则，而

故

即

由三垂线定理得：PB⊥

从而PB⊥面。

这里用到了平面几何中两个三角形全等的性质。图1中的是正方形中的一般结论。

 

二、图形的相似

例2、如图2，在正四棱柱中，，，并交于点M。求点B到面AMC的距离。

图2

剖析：易证⊥面AMC，设垂足为H，则

BH就是点B到面AMC的距离

连接BD交AC于点O

在中，

得

则，即

故