模型练习：正方形中过对角线交点的直角问题

经典范例

如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，∠POQ=90°，OP、OQ分别交AB,BC于点E,F.

求证：（1）△AOE≌△BOF;

（2）S_{四边形OEBF}=1/4S_{正方形ABCD};

（3）EF=√2OE;

（3）若AB=1,求△BEF周长的最小值.

视频讲解

变式1

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AC＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC，BC相交，交点分别为D，E，则两个三角形重叠部分的面积为      1/4     ．

变式2

如图，三个边长均为4的正方形重叠在一起，O₁，O₂是其中两个正方形的对角线交点，则阴影部分的面积是   8   ；若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为   4n－4   ．

结论：一个含有直角的平面图形的直角顶点与正方形对角线的交点重合，平面图形绕着这个交点旋转，且直角的两边分别与正方形两邻边相交，则两个图形重合部分的面积始终等于正方形面积的1/4.

变式3

如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC与Q.当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明.

解：PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ.

结论：如图，对于非对角线交点旋转模型的运用，我们通常是过交点向正方形相邻两边作垂线，常有结论PB=PQ,△PBE≌△PQF.