本是同根生，花儿却不同——好一个乾坤倒转！

        前文《玩转线段最值系列之（3）——转化思想》中，介绍了解决一类可以采用构造思想然后利用三角形三边关系解决的几何最值问题。近期受谈老师《难点突破：动点轨迹与路径最值综合题》一文启发，深感局部思维与全局思维的差别，利用三角形三边关系也可以解决很多最值问题，但是思考深度不够，所见范围较窄，属于“只见树木，不见森林”。本文就谈老师的“乾坤倒转”法在最值问题中的应用再举例。     

典例研究

【问题】如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为____________.

解法一（构造三角形法）：如下图，取点AB中点E，当点D、O、E不共线时，由三角形三边关系得：OD<>

此法总体思想是通过构造三角形将“不定边”与“定边”扯上关系，从而利用三角形三边关系解决；但实践证明，学生直接想到这一点很困难.

我们习惯性思维是矩形ABCD随着点A、B的运动而运动，OM、ON是固定的，如下动画演示：

       研究谈老师一文让我懂得了，思考问题要放眼全局；

解法二（乾坤倒转法）：大家都知道，运动具有相对性，我们若将矩形ABCD固定不动，将∠MON在动呢？这样问题就转化为动点O到定点D的距离最值问题，因此我们只要知道点O运动轨迹，问题就可迎刃而解，由“定边对定角”模型不难得知点O的运动轨迹是以AB中点E为圆心，以AB为直径的半圆，让我们一起来感受一下动图吧：

因此，此问题就转化为“点”到“圆”最值问题，当点O旋转至图中点F处时取得最大值为1+√2.

这就是“乾坤倒转”，怎么样，是不是很神奇？用这种思维解以下两题试试吧.

---

巩固练习

【练习1】如图，点A、B分别是x、y轴正半轴的两动点，△ABC是等边三角形且边长为2，则OC的最大值为_________.

 

【练习2】如图，点A是直线y=-x上的动点，点B是x轴上的动点，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，则OD的最大值为     。

 

仔细分析，“乾坤倒转”和“三边关系法”的根本依据都是相同的，只是处理方法不同，境界也不同，可谓是“本是同根生，花儿却不同”，此法对于学生逆向思维、全局思维的培养大有裨益，给我们带来的是别样的数学魅力！

好一个“乾坤倒转”！