高中物理：双星及三星问题

两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面高度为R，B卫星离地面高度为3R，则

（1）两卫星周期之比是多少？

（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a经过多少周期两卫星相距最远？

解析：（1）由于人造卫星在运动时，地球对卫星的万有引力提供其运动的向心力，故有

，∴。

对a卫星，其轨道半径应为，∴①

对b卫星，其轨道半径应为4R，∴②

用①式除以②式得

。

（2）如图所示，由于a卫星比b卫星运动的快，它在最短时间内与b相距最远，即在一条直线上，分处地球两侧，a比b多运行的角度，设b运行的角度为，则有

对a卫星：③

对b卫星：④

用③式除以④式可得，将值代入并结合第（1）问结果可得。

答案：（1）          （2）。

变式1：宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；

（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

解析：（1）对于第一种运动情况，如图甲所示，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律，有

，

。①

运动星体的线速度为②

周期为T，则有③

④。

（2）设第二种形式星体之间的距离为r，如图乙所示，则三个星体做圆周运动的半径为

。⑤

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律，有

。⑥

。⑦

由④⑤⑥⑦式得           。⑧

答案：（1）；；（2）。

变式2：神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’（用m1、m2表示）；

解析：（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为，由牛顿运动定律，有，，，设A、B之间的距离为r，又，由上述各式得

。①

由万有引力定律，有，

将①式代入得。

令，比较可得。②