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我们时常会在科学史中看到一些“扫地僧”式的人物，他们名不见经传，甚至没受过正经的科学训练，却能无心插柳神乎其技地鼓捣出一个大发现，成为江湖上不朽的传说。1975年，美国一位只学过一年数学的家庭主妇也成为了这样一个人物，凭借在图形镶嵌的突破性发现，一举成为数学界的新星。 美国业余数学家马乔里·赖斯。图片来源：Quanta Magazine 这个主妇叫马乔里·赖斯（Marjorie Rice），在了解她的故事之前，我们需要熟悉一下她的研究领域——图形镶嵌。 什么是图形镶嵌呢？ 图形镶嵌，就是一门铺砖的学问。图片来源：Quanta Magazine 在数学上，如果用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这样的拼接情况就被称作平面图形的镶嵌，也叫密铺法。 数学家在讨论图形镶嵌时，有严谨的分类和定义，如周期性镶嵌（出现的图案是重复的），非周期镶嵌等等，本文讨论的是周期性镶嵌。 这个概念你也许并不熟悉，但铺地砖你一定不陌生，这是图形镶嵌应用的最广泛的场景。你有没有想过，为什么地砖大多都是正方形的呢？那是因为正方形可以说是最完美的四边形了，四边相等，四个角都是直角，两条对角线长度相等，互相垂直平分，有这么多几何性质，我们很容易按照网格将一块地铺满。生活中的房间中地面基本也是矩形为主，所以只需要在最边上那块对地砖进行切割就可以完美地将房间铺满。 你家的地砖是什么形状的？图片来源：B&Q.com 可见，只有具备一定性质的图形，才能成为一块合格的砖啊。 别看铺地砖这个事情没什么技术含量，从古希腊时人们就开始琢磨其中的门道了，人们时不时地就会思考这么一个问题：什么样的凸多边形才可以镶嵌平面呢？ 我们首先会想到的是正多边形。正六边形可以把平面铺满，因为它的每个内角都是120°，在每个拼接点处，三个内角恰好能组成360°；同理，正三角形、正四边形也可以实现这个要求，而其他种类的正多边形却无法把平面铺满（你知道这是为什么吗？）。 除正三角形、正四边形和正六边形外，其它正多边形都不可以把平面铺满。图片来源：guokr.com 那除了正多边形以外，不规则多边形可以进行平面镶嵌吗？ 任意的三角形无疑是可以的，两个全等的三角形可以拼成平行四边形，平行四边形可以镶嵌；凸四边形显然也是可以的。那五边形可以吗？ 破解世纪难题 当我们考虑到五边形，事情就变得有趣起来。我们知道正五边形是无法镶嵌平面的，但一些特殊的不规则五边形却可以。德国数学家卡尔·莱因哈特（Karl Reinhardt）于1918年发现了五种可以镶嵌平面的五边形，从那时起，寻找可以镶嵌平面的五边形并将它们分类就成为了一个世纪难题。 最早发现的五种五边形。图片来源：wikipedia.com 在当时，很多人都认为所有可以镶嵌平面的五边形都已经找出来了，但事实并非如此：1968年，R·B·克什纳（R. B.Kershner）又发现了三种；1975年，理查德·詹姆斯（Richard James）也发现了一种新的五边形。 也就在这一年，本故事的女主角，圣地亚哥的50岁家庭主妇马乔里·赖斯从杂志上看到了这个“寻找五边形”的研究。马乔里只在高中学过一年数学，是照顾五个孩子的全职妈妈，但她始终对数学充满浓厚的兴趣，经常趁孩子不在家的时候阅读与数学有关的文章，并尝试做一些研究。看到这个问题，她觉得没准自己也能试试，随后的日子里，赖斯开始在厨房的地板上涂涂画画，试图找到新的五边形。她不怎么会使用数学符号，就发明了一套自己的符号系统，这种土法研究看上去十分简陋，但是没想到真的被她找到了一个！ 赖斯找到的五边形。图片来源：wikipedia.com 到了1977年，状态神勇的马乔里又发现了三种新的五边形，还发现了五十多种其他类型的镶嵌图形，她的一位数学家朋友专门为其撰写了论文并获得发表。 截止到今天，人类发现的、能够实现平面镶嵌的凸五边形也只有15个而已，马乔里独占四席，可以说是数学史上最剽悍的主妇大妈了。2017年的时候，有数学家证明，“五边形镶嵌”问题只存在这15种情况,如果这种说法得到证实，那这个世纪难题就要正式落下帷幕了。 这15种五边形，可能就是问题的全部答案了。图片来源：wikipedia.com 为什么这么多数学家对平面镶嵌理论如此着迷呢？除了其自身所具有的几何学美感之外，它背后的应用价值也值得我们一探究竟。我们利用它设计建筑的各种图案，计算如何最大利用空间节省成本。在如何优化晶体结构等问题中，它也发挥着巨大的作用。现在再看你脚下的地砖，是不是觉得它不再那么平凡了呢？ 一个AI：你见过哪些奇怪的地砖/瓷砖呢？欢迎上传照片到“果壳少年”后台留言，我会把大家的回复整理成“地砖合集”，敬请期待！ 逼死强迫症，吓哭熊孩子，看完这些砖，整个人都不好了。 知识点数学八年级下 特殊的平行四边形 矩形 正方形 撰文：吴文庆、大琳砸 编辑：齐园神狙 |
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