海伦公式的向量证法是什么？

政二街 2018-06-04

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一·海伦公式：

公园1世纪，希腊数学家海伦在其所著《度量论》一书中给出一个用三角形的三边来表达三角形面积的著名公式——海伦公式。

这个公式简洁，对称，极具美感，深刻揭示了数学之美和数学之妙。据称《度量论》一书曾一度失传，直至1896年舍内在土耳其发现了它的手抄本后，才于1903年校订出版。又据阿拉伯数学家比鲁尼称，该公式源自于阿基米德，这个考证也曾得到“圈内”人士的认可。尽管如此，人们还是将它冠以海伦之名。

人们在研究，证明，乃至使用这个公式时，也许并不介意公式的背景。一个三角形当其三边确定以后，那么这个三角形随之而确定，当然该三角形的面积也就确定了，这就为人们用三角形的三边长来表示三角形的面积提供了理论基础和依据。

1247年前后，我国宋代数学家秦九韶在其所著《数书九章》中，给出另一个用三边表达三角形面积的公式——三斜求积。公式基于中国人善于用“勾股”的思想，因而公式也具有此形式，它用今天的数学符号表达出来为：

这个公式稍加推演，其实是与海伦公式等价的，正所谓英雄所见略同，殊途同归。唯一遗憾的是，这个公式不如海伦公式简洁，对称和优美。

二·向量法证明海伦公式：

【评注】

上述证明中关键是将三角形的面积用向量来表达，然后利用向量的运算律将其化简，这样就使几何问题完全代数化了。由于向量运算律本身包含着几何定理的内容，因此利用向量运算律进行向量的代数运算，实际上就是利用基本的几何定理来进行推理，向量的代数运算本身就是一种几何推理，这样向量就把代数与几何结合起来了，因此可以说向量是沟通代数与几何的桥梁。