曲面几何与广义相对论

在本文中要谈谈两个关于三维空间R³中曲面的古典定理,以及它们在Minkowski时空空间R^3,1中的推广。这些推广与广义相对论中一些基本的问题紧密相关, 例如: 重力能量(gravitational energy) 以及宇宙审查(cosmic censorship)。所以我们讨论它们不仅是对上面的数学感兴趣, 更是因为它们与物理的关连。

本文中我们假设所有的2维曲面都和球面有相同拓朴型态(也就是二者之间有一个可逆的连续映射)。

回顾R³与R^3,1 中的曲面几何

考虑一个经由 X : ∑→R³嵌入R³的曲面 ∑, X = (X¹,X²,X³) 代表嵌入 (embedding) 的坐标函数。令u^a, a = 1, 2 代表∑上的局部坐标系统, 所以每个Xⁱ, i= 1, 2, 3 都看成在局部定义的u^a的函数。由此导出此嵌入的度量或其第一基本形式(first fundamental form) 如下:

这是曲面上正定的对称2-张量, 这个度量决定了曲面所有的内在几何。

以S² 为例

取u¹= θ, u²= φ, 0 <>< π,=""><><>¹(θ,φ) = sinθ sinφ, X²(θ,φ) =sinθcosφ, X³(θ,φ) = cosθ, 则σ11 = 1, σ12 = σ21 = 0, σ22 = sin²θ.

所以是正定的对称2-张量。

对于R³ 里的曲面∑, 最重要的外在几何量是均曲率H, 它与面积的变动有关。假设∑是一个闭嵌入曲面, |∑| =∫_∑dμ代表它的面积, 如果沿着这个曲面的向外法线方向, 以s (s是∑上的函数) 为速度将∑变形, 面积的变化是

∫_∑sH dμ

这里dμ 是∑上的度量导出的面积元素。H = 0 对应到最小曲面, H =常数对应到均曲率曲面(CMC), 这是面积泛函的临界点。

对于嵌入R^3,1 Minkowski 时空中的曲面X : ∑→R³, X = (X⁰,X¹,X²,X³)由此导出的度量为

当上面的度量为正定时, 我们称∑为类空间(spacelike) 曲面。

另外还有均曲率向量场H^→, 这是一个法向量场, 量度曲面变形时面积的变化。明确地说, 对于任意法变分场V^→(normal variational field), 均曲率向量场满足第一变分公式(first variational formula)

δV^→|∑| = −∫_∑<>^→ , V^→> dμ.

δV^→|∑|代表曲面沿着方向V^→的面积变化, 而dμ 是∑上的度量导出的面积元素。

在相对论中, 光在虚空中行进, 从时空中的曲面发射出来的光束可以发散也可以汇聚。在广义时空中存在所谓的囚陷曲面(trapped surface), 所有发出的光束都会收敛, 显示在这个曲面附近有很强的重力场。Penrose 奇异点定理主张囚陷曲面的存在可引致未来时空奇异点的形成。

所以科学家们希望可以用均曲率向量场得到好的重力能量的测量。事实上, 有数个已知的想法, 如Hawking 能量, Brown-York 能量以及Liu-Yau, Wang-Yau 能量,都是以均曲率向量来定义的准局部能量(quasilocal energy)。

等度量的曲面嵌入

让我们先回顾R³的Weyl 等度量嵌入问题: 在2维球面∑上给定一个正定的对称2-张量σ_ab, 是否存在一个嵌入X : ∑→R³使其导出的度量

和σ_ab一样? 这里有三个未知的坐标函数X¹, X², X³, 是u¹, u²的函数, 还有对应于σ_ab分量的三个方程。

注意σ12 = σ21。

当σ_ab的高斯曲率为正时, 这是一个非线性椭圆偏微分方程组, 由Nirenberg和

Pogorelov  解决。解集合在刚体运动的对称之下不变, 也就是曲面在R³ 中经旋转、反射或平移, 其解集合不变。将此方程线性化, 对于变量δXⁱ 其线性化的方程为

显然, δX¹= ∑³_j=1aⁱ_jX^j, aⁱ_j= −a^j_i是对应于旋转的解。

但当我们试着将曲面经映射等度量嵌入R^3,1时, 立即面临方程是「不足决定」系统(under-determined system) 的问题, 有四个未知坐标函数却只有三个方程, 要得到任何形式的解的唯一性, 必须加上至少一个条件, 我们将加上从考虑广义相对论中准局部能量, 自然而来的一个条件。

在牛顿重力学中∆φ= 4πρ, 其中φ是位势(potential), 而ρ是质量密度, 总质量可以由积分ρ得到, 即∫_Ωρ。但是广义相对论中的重力有个根本的难题, 它与其它物理理论不同的是, 没有质量或能量密度。想当然耳的将质量密度积分得到质量, 这个式子对广义相对论的重力而言没有意义。另一方面, 由散度定理(divergence theorem), 牛顿重力中的总质量等于边界曲面∂Ω上的流量积分。因此推想在类空间的域Ω上的重力或能量可以经由边界∂Ω, 这个二维的曲面上的积分来估算。1982 年Penrose将广义相对论中未解决的主要问题列表,第一个问题就是, 为广义时空中的曲面∑ = ∂Ω恰当地定义出准局部的能量— 动量(质量)(quasi-local energy-momentum(mass))。

Einstein-Hilbert作用的Hamilton-Jacobi 分析暗示了下面的作法: 对于广义时空N 中的∑找一个基地状态(ground state), 即最能与∑在N 中的几何「匹配」将∑嵌入R^3,1 的等度量嵌入。这个嵌入在R^3,1中的像称为参考曲面, 目的在于希望能经由等度量嵌入来操控内具的几何, 从物理曲面及参考曲面两种外在几何的差异, 判读出「重力能量」。

Wang-Yau的作法是考虑广义时空N 中的2维类空间闭曲面∑上的几何数据, 这些数据包括其上由N 上度量导出的度量σ_ab以及均曲率向量H^→, 针对每一个将∑等度量嵌入R^3,1所导出的σ_ab定义其准局部能量。这个定义满足重要的正质量及刚性的性质, 并且与一般为人接受的其它观念一致。

至于准局部质量, 我们知道在特殊相对论中, 能量取决于观测者, 而质量则是所有观测到的能量的最小值。模拟于此, 在定义准局部质量时, 我们对所有等度量嵌入所得的准局部能量取其最小。这个Euler-Lagrange 方程就是「最佳嵌入方程(optimal embedding equation)」,这是一个对时间坐标的四阶偏微分方程, 再加上等度量嵌入的方程, 最后我们得到四个方程, 四个未知的偏微分方程组。

近期的应用

我们在这一节讨论广义相对论中守恒量的应用。Penrose 列出来的问题中, 第二个问题是:为准局部角动量下一个恰当的定义。在特殊相对论中, 守恒量是由Killing 场导出(Killing 场是黎曼流形或拟黎曼流形上, 保持度量的向量场, 以德国数学家Wilhelm Killing(1847-1923)命名), 这些场对应于R^3,1 中的连续对称(等度量)。举例来说, 旋转Killing 场X¹∂/∂x₂−X²∂/∂x₁定出对X³轴的角动量。但是, 在广义时空中没有连续对称也没有Killing场。

对于物理时空中的曲面∑, Chen-Wang-Yau的想法是藉助∑嵌入R^3,1 的最佳等度量嵌入将R^3,1 上的Killing 场带回∑上, 所有守恒量如能量, 线性动量, 角动量和重心都可以如此定义, 更重要的是探讨了这些守恒量的动力以及爱因斯坦方程的关系。

爱因斯坦方程是时空中Lorentzian 度量gμν , μ,ν = 0, 1, 2, 3 的二阶偏微分方程组。最简单的真空爱因斯坦方程为Rμν = 0, μ, ν = 0, 1, 2, 3 其中Rμν 为gμν 的Ricci 张量。

爱因斯坦方程可以写成双曲偏微分方程组的初始值问题。给定初始值(M, g(0), k(0)) 其中M 为流形, g(0) 代表其上导出的度量, k(0) 表第二基本型(second fundamental form),对于每一个爱因斯坦方程的解(M, g(t), k(t)) 我们赋予守恒量e(t), pi(t), Ji(t) 和Ci(t)分别对应能量, 线性动量, 角动量和重心。中证明在爱因斯坦演化方程的非线性脉络之下, 下式成立

e(∂tCⁱ(t)) = pⁱ

以及

∂tJ_i(t) = 0

第一式是熟悉的古典公式 mx˙ = p 的相对论版本, 就我们所知这是第一次证明出它与爱因斯坦方程一致。

Minkowski 不等式和Penrose 不等式

在下半部的讲演中我要讨论和Brendle, Hung 合作的中的二个不等式: 古典微分几何的Minkowski 不等式以及广义相对论中的Penrose 不等式。

令∑为嵌入R³ 中的闭曲面。前面提到∫∑H dμ 对应面积在单位速度(s = 1) 之下的改变, 对于R³ 中的曲面Minkowski 不等式叙述如下:

对于R³ 中的闭凸曲面∑,∫_∑H dμ ≥√(16π|∑|),

|∑|代表∑的面积。这个定理在高维也成立, 而且由Huisken, Guan-Li推广到均凸, 星形的超曲面。对于R³中以R 为半径的2-维球面, 上式左手边为

另一方面, 上式右手边为√(16π·4πR²)= 8πR。此时不等式是等式, 若且唯若∑是圆球面,不论半径为何。

现在考虑时空中的类空间2维曲面, 我们曾定义均曲率向量场H^→如下:

δV^→|∑| = −∫_∑<>^→, V^→> dμ.

就如前面提到的, 在广义相对论的脉络下, 人们感兴趣的是量度从∑上射出的光线发散的程度。我们可以取∑上的两个零法向量场(null normal vector field) L 及L_ 即< l,="" l="">=0, < l_,="" l_="">= 0, < l,="" l_="">= −2。我们称−∫_∑<>^→ , L > dμ 及−∫_∑<>^→ , L_ > dμ 为2-维曲面∑在广义时空中的零展开(null expansion)。

举例来说, 对于曲面∑⊂R³⊂R^3,1, 若ν为∑指向外部的单位法向量, 可以取L =∂/∂t + ν (向外), L = ∂/∂t − ν (向内), 在这个情况一个(向外) 展开为正, 另一(向内) 则为负。

对于弯曲时空中的凹陷曲面, 两种展开都是负的。

Penrose 在他原先关于宇宙审查(亦实时空的每一个奇异点都隐身在黑洞之后, 因此看不到) 的论文中提出下面的猜想:

猜想1. 对于一个R^3,1中「过去零凸的」闭嵌入类空间2-维曲面∑, 经过正规化使得< ∂ t,="" l_="">= −1, 则

∫_∑<>^→ , L_ > dμ≥√(16π|∑| )  (*)

在此「过去零凸的」是指∑的过去光锥(past null cone, or past light cone) 可以沿着−L_ 的方向平滑地延伸到无穷远。而在Minkowski 时空中的光锥为{(t, x, y, z)|−t²+x²+y²+z²=0}.

Minkowski 不等式给出曲面面积变化率和曲面面积的关系。Penrose 不等式原来是给出黑洞质量和黑洞面积的关系。在特别的null dust 时空中, 黑洞可为Minkowski 时空中的一般曲面, 而黑洞质量可与面积变化率(或均曲率积分) 联结, 因此有了上面的不等式。

Gibbons观察到若∑⊂R³⊂R^3,1, 且选择上述的L, L_, 那么(*) 就是古典的Minkowski 不等式。

黎曼几何中在渐近平坦的情形下有Penrose 不等式

16π(ADMmass) ≥√(16π|∑|)

的确, 在渐近零的情形之下, (*) 对应于上式。

Tod证明(*) 对于ose 不中(一点的) 光锥上的曲面成立。另外也有些推广, 见Mars和Mars-Soria。但是对于Minkowski 时空中的一般曲面, (*) 仍只是一个猜想。

回到Minkowski 不等式, 微分几何学家对于将不等式推广到其它空间形式(space form)的曲面极感兴趣。其中Gallego 和Solanes研究双曲空间的情形, 证明对于H³中的凸曲面

∫_∑H dμ≥2|∑| ) 

在此, H³代表三维常负曲率−1 的双曲空间,其黎曼度量为dr²+sinh²r(dθ²+sin²θdφ²)。在H³中, 半径为r 的测地球其面积为4πsinh²r , 所以∫_∑H dμ= d(4π sinh2 r)/dr =8πsinh r cosh r, 而右手边则是2|∑| = 8πsinh²r。这是一个漂亮的不等式, 但等号永远无法企及。

另一方面, 我们可以将双曲空间H³等度量地嵌入R^3,1 成为{(t, x, y, z)|t > 0 ,−t2 +x²+ y²+ z²= −1}。但是对于H³中的2-维曲面, 甚至连∫_∑<>^→ , L > dμ

为什么应该为正都不清楚, 不过Penrose 不等式可以为∑预测一个Minkowski 类型的最佳不等式(sharp inequality)。

更一般以及高维的不等式见。其证明涉及「反均曲率流(inverse mean curvature flow)」, 一个新的在静止真空时空的单调公式(monotonicity formula), Brendle的一个Heintze-Karcher 类型的不等式, 以及Beckner在球面上的最佳Sobolev 不等式。

这个证明让我们可以将不等式推广到更有物理意涵的时空, 并且做出下面的猜测:

猜想2. 对于在Schwarzschild 时空中的任意类空间过去零凸的2-维曲面∑, 下列不等式成立:

这里m 是Schwarzschild 时空的总质量。L 则是经过选取使其对偶零法线(dual null normal)L_ 满足< l_, ∂/∂t ="">= −1, ∂/∂t是Killing 场。

Schwarzschild时空是以德国物理学家及天文学家Karl Schwarzschild (1873_1916)命名的时空。他在爱因斯坦发表广义相对论后不久, 发表现在所称的Schwarzschild 度量, 这是爱因斯坦方程的解, 描述在一个球形的质量外部真空状态(即电荷、角动量及宇宙常数均为零) 下的重力场。它能用来描述缓慢转动的天文物体, 例如许多星球包括地球和太阳。

总之, R³的曲面几何与时空中(余维为2) 的曲面关系密切。物理的预测启发了数学上的成果, 另一方面, 数学的结果又自然地赋予物理新的样貌。

∑编辑 | Gemini

来源 | 数哲三叔

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