球面上的最优传输和微分几何

纽约金秋，海水澄澈，天空湛蓝。午后的阳光遍洒金辉，秋风袭掠之后，始见落叶飘零。虽然秋高气爽，心情振奋，但是寒意渐起，莫名的忧伤总是挥之不去。学期伊始，很多新生入学，朝气蓬勃，青春洋溢。看着他们，令老顾不禁怀念起当年入学的情形。

Scarborough Fair

 

当时的清华园文艺气息非常浓厚，经常有各种音乐会、个人演唱会。每天夜晚东大操场上都有人在演练吉他弹唱。每天下午团委和文艺社团排练室都传来阵阵琴声，单簧管、双簧管、长笛等乐器混杂成厚重的织体，间或被长号、小号的高音所撕裂。一天傍晚，金得哲、李雪松在主楼后厅举行演唱会，他们演唱了Simon和Garfunkel的 《斯卡布罗集市》（Scarborough Fair）感人至深。歌曲旋律优美动听，歌词伤感婉约，吉他配器飘逸悠远，Simon和Garfunkel的和声浑然一体，动人心弦，堪称民谣中的经典。后来，老顾和乐队朋友郝佳良、陈皓无数次演奏过这首乐曲。郝佳良用激越嘹亮的小号吹出了醇厚柔美的感觉，陈皓单簧管的音色更是纯净无暇，令人感伤。到了博士阶段，老顾和清华乐队的朋友经常在麻省理工排练，曾经用高音萨克斯来演奏“Scarborough Fair”，但总觉得Soprano Saxophone华丽绚烂的音色，无法表达这首乐曲所蕴藏的怅惘和忧伤。再后来，老顾到纽约工作，经常到中央公园游览。Simon和Garfunkel曾经分道扬镳，后于1981年复合，在中央公园举行了一场免费音乐会。在夕阳西下、皓月初升之际，这对搭档再次演唱了这首老歌，成为永恒。

“Scarborough Fair”一唱三叹，每句歌词之后，都要加上一句叹惋“Parsley，Sage，Rosemary and Thyme”，翻译过来就是“荷兰芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”，四种香料的名称，这令老顾大惑不解。后来，老顾游览Scarborough fair的所在地，英格兰的约克郡。和纽约（New York）相比，具有两千年历史的约克郡（old York）古老阴郁，历史文化极其厚重。这里的惠特比修道院（Whitby Abbey）是吸血鬼的诞生地；约克大教堂（York Minister）是北欧最大的哥特式教堂，具有多层地基。历史上罗马人、诺曼人、维京人、盎格鲁-萨克逊人曾经多次征服过这片土地，他们摧毁被征服者的教堂，在原址上重建自己的教堂。斯卡布罗集市曾经是北欧海盗维京人敛财销赃的据点，游吟诗人在集市上即兴创作，脍炙人口的民谣流传下来，从而启迪了保罗西蒙和葛芬柯。老顾询问当地的一位教授朋友，“荷兰芹、鼠尾草、迷迭香和百里香”的含义。教授朋友给老顾解释了一段惨痛的历史掌故。1347年，穆斯林和热那亚的基督徒殖民者之间爆发了战争。战争中，穆斯林军队爆发了黑死病。穆斯林军将病者装上了弹射器，投射到热那亚城中。恐惧的热那亚人逃回了意大利，引发了全欧洲的瘟疫。黑死病夺去了欧洲几乎一半的人口，使得人们对教会和信仰大失所望。瘟疫中却有一群盗徒穿行于死亡遍布的街市，大肆偷盗。当他们被逮捕后交待了抵御瘟疫侵袭的秘方，其中主要的成分就是荷兰芹、鼠尾草、迷迭香和百里香。由此，历史上留下了“四贼醋”的大名：Parsley，Sage，Rosemary and Thyme。由于瘟疫的恐怖，人们用将这一秘方广泛传播，演化成民谣中起兴的咒语。“Scarborough Fair”的歌词居然有如此惨烈的文化背景，民族战争，宗教战争，瘟疫黑死病，宗教改革，难怪有一种难以名状的哀伤和凄美。数百年之后，这些历史的伤痕被岁月抚平，惨痛的记忆被转化成优美的旋律和典雅的歌词。虽然人类文明提升到了古人难以想象的高度，医疗日益发达，科学日益昌明，但是宗教战争、全球性瘟疫的阴影依然挥之不去。

最优传输

老欧洲的文化传统中，最为纯粹和厚重的当属数学。人类几乎出于先天的本能就会欣赏音乐。对于数学的品鉴却需要长期的专业训练。但是从带给人们的美学价值和精神震撼程度而言，数学更为崇高、激烈和持久。自从法国数学家蒙日在十八世纪初叶开启了最优传输理论的研究，数百年来无数的纯粹数学家、应用数学家、计算机科学家、工程师都为这一理论而心醉神迷，从各个角度为这一理论的发展做出了贡献。纯粹数学家证明了解的存在性、唯一性和正则性；应用数学家设计迭代格式，证明收敛阶，误差估计，数值稳定性；计算机科学家设计数据结构，并行算法，提高算法鲁棒性和效率；工程师用来进行图像增强，病理分析，统计推断，生成模型，设计光学器件等等。由于社会分工和职业训练，很少有人能够透彻理解这一理论上下游的全景，只能专注于相对局限的一部分理论或算法。例如纯粹数学家呕心沥血发展出来的各种先验估计的技巧，对于绝大多数的计算机科学家而言无法直接应用，因而缺乏动力去钻研，由此也错过了领略深层次美感的机会。近期，由于最优传输理论日益成为深度学习的理论基础之一，整个社会对于最优传输理论的学习热情日益高涨，相信最优传输理论和蒙日-安培方程理论会逐渐深入人心，在工程医疗领域发扬光大。

最优传输映射在度量空间，特别是黎曼流形上依然存在，但是其正则性分析相对困难。球面上的最优传输理论比较成熟，但是目前在工程领域应用不多。相信依随三维打印技术的成熟，球面最优传输理论终将大放异彩。这里，我们讨论球面最优传输理论的一个经典应用：由曲率来构造曲面，即凸几何中的Weyl problem，Minkowski problem和Alexandroff problem。

凸几何经典问题

由微分几何的经典理论，三维空间中的曲面由第一基本形式（黎曼度量）和第二基本形式共同决定。黎曼度量决定了曲面的内蕴几何，可以测量曲面上曲线的长度，曲线间的夹角，区域的面积，同时也决定了曲面的高斯曲率。第二基本形式决定了曲面的主曲率，平均曲率。但是对于凸曲面而言，仅仅黎曼度量就决定了曲面在三维空间中的嵌入。

图1：源球面，高斯球面，凸曲面。

我们记凸曲面为，并且用极坐标来表示凸曲面，, 即用定义在单位球面上的正值函数来表达径向长度。令是单位球面上的一点，沿着方向的射线和凸曲面交于点。假设曲面在点处的单位法向量为，高斯映射将曲面映射到单位球面上：，。我们将曲面的黎曼度量记为，将曲面的高斯曲率记为，单位球面上的面元记为，曲面上的面元记为。从参数单位球面（源域）到高斯单位球（目标域）的映射为复合映射：，。我们下面解释下面的几个经典问题。

Ricci 流：给定带有黎曼度量的曲面，给定目标高斯曲率，满足高斯-博纳条件，则存在共形因子函数，满足，这里是曲面的初始度量，黎曼度量诱导曲率等于。这里未知的共形因子函数可以由经典的Ricci流方法得到。离散曲面Ricci流的理论和算法也非常成熟。因此，从曲率求度量的计算问题应该已经是被完全解决了。但是，我们只得到黎曼度量，有时需要进一步得到曲面在欧式空间中的等距嵌入或者浸入。

Minkowski问题

Minkowski问题：我们在目标域高斯球上给出高斯曲率，即给定高斯球上的任意一点，相应的正值高斯曲率为，满足条件

,

求取曲面的极坐标表示。等价的，高斯映射将曲面的面元推前到高斯球面上，在高斯球面上得到一个测度

，

从这一推前测度来求取凸曲面。

从计算角度而言，这一问题可以如下求解。首先我们将Minkowski问题离散化。我们将高斯球进行胞腔分解，，计算积分

，

令法向量为，面积为，满足限制

,

我们欲求一个凸多面体，相应面的法向量为，面积为。

图2：离散Minkowski问题。

这里凸多面体的支撑平面方程为，这里平面的高度未知。这些支撑平面构成的凸多面体记为，这里。我们构造能量函数为凸多面体的体积：，极大化凸多面体的体积，满足限制。多面体体积关于支撑平面高度的偏导数等于相应面的面积：

，

由此可以证明离散Minkowski问题解的存在性。再由Brunn-Minkowski不等式证明解的唯一性。

我们再将高斯球的剖分逐步加细，得到一系列的凸多面体，从中选择子列收敛到光滑解。

Alexandrov问题

Alexandrov问题 映射将高斯球的面元拉回到定义域上，得到拉回测度，满足限制：

,

我们希望从拉回测度求得曲面的极坐标表示，使得。

每个光滑的严格凸曲面都（广义勒让德）对偶于另外一个凸曲面，对于任意一个，平面是凸曲面的一个支撑平面。由曲面的严格凸性，我们得到高斯映射为光滑双射：。我们有如下的广义对偶性：

,

。

两侧取对数，我们得到

,

。

我们定义成本函数：，。给定两个测度和，我们求解球面最优传输问题：，

。

由Kontarovich对偶理论，这等价于优化下面的能量：

,

具有限制。通过以上分析，我们得到

就是Kontarovich问题的解。

我们仔细理解下面的等式：

两边取指数映射，我们得到

。

右侧是一族平面的极坐标表示的内包络。固定点，变动，平面的极坐标表示为：

，

这里是极径。每张平面将欧式空间分成上半空间，和下半空间。所有下半空间的交集是一个凸集，其边界曲面为凸曲面。左侧意味着此凸曲面的极坐标表示为。

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我们下面讨论Alexandrov问题的离散提法。给定离散点集

和相应的目标曲率

满足

。

我们求极径

，

得到点集

，

凸多面体是这些点的凸包（convex hull）。

调节极径，使得的离散高斯曲率满足

。

所谓高斯曲率就是过顶点所有支撑平面的法向量集合的球面面积。

对于任意的顶点，我们构造平面

，

这些平面的内包络为

，

内包络向单位球面进行球心投影，得到球面的胞腔分解：

这里胞腔的面积单调依赖于。通过调节所有的，满足归一化条件

，

使得胞腔的面积等于，这等价于满足离散高斯曲率条件。由最优传输映射理论，我们可以得到唯一的解。

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等价的，我们用计算几何的语言来重新描述一下：我们定义球面的power距离：

，

得到球面的power diagram：

通过调节所有的power 权重，满足归一化条件，使得

胞腔的面积等于。

进一步，我们可以用变分法来求解，优化下面的凸能量

,

优化可以用牛顿法来进行。得到满足条件的power diagram之后，离散最优传输映射将每个胞腔映到相应的样本点： 。具体计算细节，请参阅【1】。

图3：斯坦福兔子。

图4. 斯坦福兔子共形映射到单位球面上。

图5. 斯坦福兔子的球面最优传输。

图3是斯坦福兔子曲面，我们将其共形映射到单位球面上（图4），这样共形映射将兔子的面元推前到单位球面上，得到一个测度。球面上的面元作为目标测度。我们用Alexandrov问题的解法计算了这两个测度之间的最优传输映射（图5）。

图6. Gargoyle模型。

图7. 怪兽的共形映射。

图8. 球面的最优传输映射。

我们用怪兽的模型进行了同样的实验（图6-8）。

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对于连续情形的Alexandrov问题，我们可以用一系列离散Alexandrov问题的解来逼近连续解。

图9. Max Planck的头像，和解Alexandrov问题所得的凸曲面。

图10. 共形映射的像和最优传输映射的像。

图9左帧显示了Max Planck的头像。我们将头像曲面共形映射到单位球面上（图10左帧），计算推前曲面面元和球面面元之间的最优传输映射（图10右帧），并且求得推前曲面面元所决定的凸曲面（图9右帧）。

Weyl问题

Weyl问题是给定源球面上的黎曼度量，其诱导的曲率处处为正，求曲面的嵌入。Wely问题可以转化成Alexandrov问题：首先由黎曼度量，我们可以计算曲面的面元，和高斯曲率，那么由曲面面元和高斯曲率的乘积给出。

小结

这里，我们介绍了球面最优传输理论，并且将其应用于微分几何的经典问题，Minkowski问题、Alexandrov问题和Weyl问题。Minkowski，Alexandrov和Weyl从不同的角度研究了如何从凸曲面的黎曼度量、高斯曲率来决定曲面的嵌入。这里介绍的方法可以直接推广到任意维的空间。

（写于UC Davis， Berkley和USC）

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【1】L. Cui, X. Qi, C. Wen, N. Lei, X. Li，M. Zhang and X. Gu, "Spherical Optimal Transport", CAD Volume 115, Pages 181-193.