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黎曼几何 现在，假定我们可知的空间范围是无限的，但是有界的。这个命题似乎是令人费解的，可是想到地球表面就可以理解了：一个人只要能爬得了山涉得了水，他就可以在地球表面无限制地走下去，但是地球的大小是有限的。这个命题又是极为重要的，因为它是构成爱因斯坦广义相对论几何空间的思想基础。 可以想象，在这样的几何中定义直线是非常困难的，因为连接球面上任意两点的线都是曲线，而不是我们传统观念中的欧几里得几何意义下的直线。如果决心用这样的曲线来定义直线，那么，这样的曲线有无限多，用哪条曲线合适呢？回想欧几里得几何，我们抽象出欧几里得直线的一个最为本质的性质： 两点间直线距离最短。 现在，我们就用这个性质作为定义直线的出发点： 称两点间最短的曲线为直线。 很显然，这个定义与欧几里得最初的定义是不悖的，因为《原理》中第4个定义就认为直线是一种特殊的曲线。 在日常生活和生产实践中，人们关于“距离最短”这个概念是有经验的，远在欧几里得之前，因为航海和天文学的需要，人们就开始对球面的问题，特别是球面三角进行了认真的研究，其先驱是古希腊学者希帕恰斯（约公元前180-前125）。我们曾经提到的亚历山大图书馆的学者们也在这方面做出了杰出的工作，梅内劳斯（约70-130）在那里写出了球面三角的第一部著作《球面学》，使得三角学脱离天文学而成为独立的学科。这部著作开宗明义给出了球面三角形的定义：“在球面上大圆弧所包围的部分”，这是连接两点的最短弧线，古希腊的学者称之为大圆。但关于天体（包括地球表面）研究集大成的还是亚历山大图书馆的后期学者托勒密，他的巨著《天文学大全》共13卷，其中第1卷的附录给出了至今发现最早的三角函数表，第2卷讨论的是球面上的三角。我们曾经说过，这部巨著深深地影响了中世纪的欧洲。 球面是二维的，人们发明了经度和维度来表示地球表面的地理位置，但是维度并不表明最短距离。北京大约位于北纬40度东经116度，纽约大约位于北纬40度西经74度，因为维度相同，从北京沿着北纬40度一直向东行就可以到达纽约，行程大约为14411千米，那么，这就是从北京到纽约的最短距离吗？ 对于球面上任意表明的两个点，我们都能像切西瓜那样，经过这两个点把这个球切开，切出的轨迹正好能够构成一个圆。我们能够切出许多这样的圆，并且，切的角度不同得到的圆的大小也不一样，其中经过球心的那个圆是最大的，这便是古希腊学者所说的大圆。容易验证： 球面上两点间距离最短的曲线是连接这两点的大圆上较短的弧。 地理学称这样的弧为劣弧。这样，就可以在我们假设的空间中利用劣弧定义直线了，1850年法国数学家柳维尔（1809-1882）称这样的直线为测地线，这个名词一直延续使用至今。如上例所示，北京和纽约两点间测地线长大约为11005千米，这比沿着纬度测量距离大约缩短3306千米。 黎曼 我们可以看到，这样定义出来的直线是一条封闭的曲线，并且任意两条不同的直线必然有两个交点，于是平行线就不存在了。但是，保留欧几里得的其他公理和公设，我们仍然可以构建一个无矛盾的几何体系。1851年，高斯的学生，德国数学家黎曼（1826-1866）在哥廷根大学的就职演讲中，把这种几何推广到更为一般的曲面，并且论证了体系的相容性，从而确立了这种几何的数学基础。现在人们车这种几何为黎曼几何，或者按照F.克莱因的分类为椭圆几何。 关于曲面三角形，黎曼几何继承了古希腊人的定义，即由测地线围成的，在这种情况下，三角形内角和大于180度，如图（1）所示 图（1） 黎曼几何中的三角形 在黎曼几何中，三角形内角和的大小是与三角形的面积有关的，在高斯曲率一定的条件下，三角形的面积越大则三角形的内角和也越大。关于这个问题的精确表达，高斯在1827年的论文中给出了一个非常漂亮的结果，如果用K表示一个曲面的高斯曲率，A表示三角形所围成的区域，α，β和γ分别表示三角形的三个内角，那么可以得到公式 K在A上的积分=α+β+γ-π 显然，如果在上式中高斯曲率等于0，就得到了欧几里得几何的结果，即三角形内角和为180度。因为高斯曲率等于0就意味着曲面是平坦的，这种情况在小范围内是可以实现的，比如，地球的表面是一个球面，但在很小的范围内我们可以认为地球的表面是平的，在这个意义上，我们也可以认为，人们通常考虑欧几里得几何是小范围时的黎曼几何。因为曲率的表达要借用导数和微分，人们又称这样的几何为微分几何。著名数学家，美籍华人陈省身（1911-2004）在这个研究邻域做了许多重要的工作，被授予沃尔夫奖，这个奖项用于表彰对数学的发展作出杰出贡献的数学家，类似数学领域的终生奖。 引力场 1916年，现代物理的开创者爱因斯坦（1879-1955）在狭义相对论的基础上，进一步发展了他的广义相对论。在广义相对论中，爱因斯坦设想引力场是一个弯曲的时空，光线在通过引力场时会出现弯曲，因为黎曼几何恰好描述了这种弯曲了的空间，于是爱因斯坦就借助黎曼几何构建了他的广义相对论的空间模型，在这个意义上，没有黎曼几何就不会有爱因斯坦的广义相对论。在这个时候，我们应当回想经典物理的开创者牛顿，如果说牛顿经典力学的时空是以欧几里得为基础的话，那么，爱因斯坦广义相对论的时空就是以黎曼几何为基础。顺便说一句，爱因斯坦使用张量分析就像牛顿使用微积分那样熟练，而张量分析是一种与黎曼几何有关的计算方法。物理学是描述现实世界的，而数学则为物理学描述现实世界提供了语言。 几何学是科学研究的典范，也是逻辑论证的典范，从这一讲对平行线的讨论我们可以更加清晰地看到几何学的发展脉络。几何学研究的基础是概念和公理，而概念和公理的基础是人们的经验和直觉，是人们凭借直觉从经验中抽象出来的。可以想象，这个阶段的抽象往往会体现出很强的物理背景，比如关于点线面的定义，关于平行线的公理。随着研究的深入，人们会发现先辈们最初的直觉可能是片面的或者是局部的，于是致力于改造，改造不成功就致力于改变，无论是改造还是改变都必须从概念和公理开始。 长时间的，反复的经验使人们意识到，只要新的体系是独立的，相容的和完备的，那么，无论是改造还是改变都是合理的。当然，新体系存在的意义还要寻求现实的检验。存在的东西可能是合理的，但绝对不是一成不变的，科学的结论必然会随着条件的改变而改变，总的发展趋势是越来越一般，因而也越来越抽象。 |
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