数学文化 | 数学的思考方式

在数学理论大厦的建立过程中，要通过发现事物的本质与共性，提出概念，建立关系，寻找规律等。这是一系列数学思维的过程，体现为数学的独特思考方式。这些方式包括：分类、化归、类比、归纳、抽象化、符号化、公理化、最优化、模型化。这些既是数学体系的特征，也是数学能力的体现。它们保证了数学体系的简洁性与严谨性，数学结论的可靠性与普适性，数学方法的有效性与便利性，数学思想的科学性与深刻性。以下就其各种思考方式做一简单说明。

分类研究

分类研究是按照研究对象属性的不同进行科学分类、逐一研究的重要思想。其分类的具体原则与方法以及分类理念都为人类解决复杂问题提供了宝贵的思想，其价值在于化难为易、化繁为简、化整为零、积零为整。比如，数学中许多对象是通过定义引入的，这种“定义”的方法，本质上是对事物进行分类的手段，它把符合某种性质的事物划为一类，进而深入研究其基本性质及其与其他对象的关系。

化归思想

化归思想是指把数学问题通过观察、分析、联想、类比等思维过程，进行变换与与转化，归结到某个已经解决或比较容易解决的问题去研究，以最终解决原问题的思想。化归就是转化与归结，它包含了运动与变化、联系与转换的观点，可以化生为熟、化新为日、化繁为简、化难为易、化异为同、化抽象为直观。化归一方面表现在处理数学问题的过程中，可以将复杂对象或陌生对象化归为简单对象或熟悉对象；另一方面也表现在数学结论表述中，因数学中许多结论都表现为对一种数学对象的多个等价刻画，数学中的“充分必要条件”是描述这一现象的典型语句，它本质上也是对数学对象性质的化归。

类比方法

类比方法是指由两个对象内在性质在某些方面的相似性推出他们在其他方面也可能相似的一种思维方法。它是数学研究中最基本的创新思维形式，在数学发现中扮演着极为重要的角色，许多陌生对象的性质和研究方法都来自于数学家的类比思想。类比方法具有启发思路、提供线索、触类旁通的作用。

归纳方法

归纳方法是从若干个别前提得出一般结论的推理方法，是通过个性发现共性，通过特性寻找规律，通过现象认识本质，是一种重要的创新思维形式。人们可以通过归纳去清理事实、概括经验、处理资料，从而形成概念、提出规律。

抽象化与符号化

抽象化与符号化是数学独特的思维特征和表达方式，它使得数学概念脱离了事物的物质属性，形式简洁、内涵丰富、应用广泛。

公理化方法

公理化方法是首先找出最基本的概念、命题作为逻辑出发点，然后运用演绎推理建立各种进一步的命题，从而形成一套系统、严谨的理论体系的思维方法。这是人类认识论的一大创举，是数学可靠性的基础，她使数学丰富的理论建立在最简单明了、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要对其进行综合、整理，使之条理化、系统化，形成概念，建立理论，实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。在理性阶段，从其初级水平发展到高级水平，又表现为抽象程度更高的公理化体系。

最优化

最优化是数学追求的目标之一，模型化是人类将实际问题转化为数学问题的重要手段，二者都为人类圆满解决实际问题发挥了重要作用。

编辑：李佳航、郭玉莹