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高中数学:用待定系数法求三角函数最值

2018-06-12  太极混元...

用均值不等式求三角函数最值时,“各数相等”及“和(或积)为定值”是两个需要凑出的条件,从何处入手,怎样拆项,如何凑出定值且使等号成立,现利用待定系数法探究。

1、x∈(0,π),求函数的最小值。

错解:因为  sinx0

所以

ymin=2

显然,这种解法是错误的!错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由sinx=2,这样的x不存在,故为错解。

正解:用均值不等式来解答,需要拆项,如何拆,既能使其积为定值,又能使“=”号成立,待定系数法就能很好地解决这个问题。先引入一个待定系数λ(0<λ<2,使。由均值不等式及正弦函数的有界性,得

当且仅当sinx=1,即λ=时,上式等号成立。将λ=代入,得ymin=

另解:y=

sinx=t(0t1=,易证在(01]上单调递减,所以


2、x(0)时,求函数的最小值。

分析:因为x(0),所以sinx0cosx0,引入大于零的待定系数k,则函数可变形为+kcos2xk3+k=12,等号成立当且仅当,时成立。由sin2x+cos2x=1,。得,即k2=64,又k0,所以k=8。故函数y的最小值为,此时x=

3、x(0),求函数y=sinx+的最小值。

分析:因为x(0),所以sinx0y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但,故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。

解:因为x(0)

所以sinx0

因为

等号当且仅当sinx=1,即k=时等号同时成立。从而,故函数y=sinx+的最小值为2


4、求函数

y=sin2x·cos2x+的最小值。

分析:易得,由均值不等式得

,故上式不能取等号。于是引入待定正实数λ,μ,且λ+μ=4,则有

=

当且仅当sin22x=1时等号同时成立,此时,所以当sin22x=1时,y有最小值为

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