高中数学：用待定系数法求三角函数最值

用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要凑出的条件，从何处入手，怎样拆项，如何凑出定值且使等号成立，现利用待定系数法探究。

例1、设x∈（0，π），求函数的最小值。

错解：因为  sinx＞0，

所以。

故y_min=2。

显然，这种解法是错误的！错误的原因是没有考虑“=”号成立的条件。由得sinx=2，这样的x不存在，故为错解。

正解：用均值不等式来解答，需要拆项，如何拆，既能使其积为定值，又能使“=”号成立，待定系数法就能很好地解决这个问题。先引入一个待定系数λ（0＜λ＜2，使。由均值不等式及正弦函数的有界性，得。

当且仅当且sinx=1，即λ=时，上式等号成立。将λ=代入，得y_min=。

另解：y=。

令sinx=t(0＜t≤1＝，易证在（0，1]上单调递减，所以。

例2、当x∈(0，)时，求函数的最小值。

分析：因为x∈(0，)，所以sinx＞0，cosx＞0，引入大于零的待定系数k，则函数可变形为+kcos²x－k≥3+－k=12，等号成立当且仅当，时成立。由sin²x+cos²x=1,。得，即k²=64，又k＞0，所以k=8。故函数y的最小值为，此时x=。

例3、设x∈(0，)，求函数y=sinx+的最小值。

分析：因为x∈(0，)，所以sinx＞0，y=sinx+可变形为。由均值不等式得。但，故上式不能取等号。下面引入待定系数k进行配凑解之。

解：因为x∈(0，)，

所以sinx＞0。

因为

故

≥，

等号当且仅当且sinx=1，即k=时等号同时成立。从而，故函数y=sinx+的最小值为2。

例4、求函数

y=sin²x·cos²x+的最小值。

分析：易得，由均值不等式得。

但，故上式不能取等号。于是引入待定正实数λ，μ，且λ+μ=4，则有

=

≥

≥。

当且仅当且sin²2x=1时等号同时成立，此时，所以当sin²2x=1时，y有最小值为。