形形色色的数学题：用竹棍摆成的数学题

中国古代的数学家用一些小竹棍摆成不同的形式来表示不同的数目，并进行各种计算，这叫做“筹算”。在《孙子算经》中就给出了摆竹棍的方法。《孙子算经》共3卷，成书在祖冲之之前，大约是公元5世纪。内容主要讲数学的用途，浅显易懂，有许多有趣的数学题。下面的“鸡兔同笼”、“河边洗碗”、“折绳量木”、“三鸡啄粟”，都选自这本书。

①鸡兔同笼

原题是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”

 

“雉”也叫做“野鸡”，雄的羽毛华丽，脖子上有白色环纹，很漂亮。这道题的意思是“今有鸡和兔同笼，从上面数有头35个，从下面数有脚94只，问鸡和兔各有多少只?”

《孙子算经》上的解法很巧妙，它是按公式

免数=×足数-头数

来算的。具体计算如下：

免数=×94-35=47-35=12(只)，

鸡数=头数-兔数=35-12=23( 只)。

 

这个公式怎样来的呢?

 

把足数除以2以后，每只鸡只剩下一足，每只免剩下两足了。减去头数，就相当于每只鸡、免再减去一足，鸡足减完了，剩下的每只免只有一足了。此时，所剩足数恰好等于兔子的头数。

 

“鸡兔同笼”问题的解法不止一种，下面介绍另外一种解法。

 

由于每只兔子比每只鸡多两足，假如把兔子也算作两足的话，那么鸡兔共有2×35=70足。

 

由总足数94减去70，剩下的应该是兔子数的两倍。因此，兔子数为

 

( 94-35×2)÷2

=( 94-70 )÷2=12(只).

鸡数=35-12=23(只).

 

前两种方法如果与方程比较起来，还是用方程来解最简单：设免子有x只，则鸡有(35-x)只。

 

由于兔子有四足，鸡有两足，总共有94足。可列出方程：

4x+2(35-x)= 94

4x+70-2x=94

2x=24

x=12，35-x=23

 

答:免有12只，鸡有23只。

 

②河边洗碗

 

有一名妇女在河边洗刷一大摞碗。一个过路人问她:“怎么刷这么多碗哪?”她回答:“家里来客人了。”过路人又问:“家里来了多少客人?”妇女笑着答道:“2个人给一碗饭，3个人给一碗鸡蛋羹，4个人给一碗肉，一共要用65只碗，你算算我们家来了多少客人?”

 

题目给出了碗的总数以及客人和碗的关系。如果能求出每人占多少只碗，就可以求出客人的数目。每人占多少只碗呢？

 

2个人给一碗饭，每人占只碗；

3个人给一碗鸡蛋羹，每人占只碗；

4个人给一碗肉，每人占只碗。

合起来，每人占只碗。

客人数为

      

      （人）。

③折绳量木

“有一段木头，不知它的长度，拿来根绳子量木头的长，把绳子拉直来量，绳子多4尺5寸；如果将绳子对折过来量，绳子又短1尺。问这段木头有多长？”

 

《孙子算经》上的这道题十分有趣。 解这道数学题的关键是找出绳子拉直和绳子对折的关系。

 

从上图可以看出，半根绳长等于45+10寸。因为绳子可以看成由A点对折的。这样整根绳长就等于（45+10）×2（寸），而木头长为 (45+10)x2-45=65(寸)。

答：木头长为6尺5寸。

④三鸡啄粟

一只公鸡，一只母鸡和一只小鸡在一起啄食了1001粒粟米。当小鸡啄食1粒粟米时，母鸡啄食2粒，公鸡啄食4粒。粟米的主人要求这些鸡的主人偿还粟米。问三只鸡的主人各该偿还粟米多少?

 

解答这道题时，关键是求出每只鸡啄食粟米的比例。由于小鸡啄食1粒时，母鸡啄食2粒，公鸡啄食4粒，所以如果把1001粒票米分成7份的话，小鸡啄食了1份，母鸡和公鸡各啄食了2份和4份。

小鸡啄食了

1001÷(1+2+4)

= 1001÷7

=143(粒).

 

母鸡啄食了143×2=286( 粒)，

公鸡啄食了143×4=572( 粒).

* 节选自《数学大世界》，中国科普大奖图书典藏书系第四辑，作者李毓佩，湖北科学技术出版社。

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