16.约数与倍数 约数和倍数 公约数
例如:12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有:1、2、3、6、9、18; 那么12和18的公约数有:1、2、3、6; 那么12和18最大的公约数是:6,记作(12,18)=6; ①分解质因数法:先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。 ②短除法:先找公有的约数,然后相乘。 ③辗转相除法:每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。 公倍数 例如:12的倍数有:12、24、36、48……; 18的倍数有:18、36、54、72……; 那么12和18的公倍数有:36、72、108……; 那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
17.数的整除 基本概念和符号 整除判断方法 ①能被2、5整除:末位上的数字能被2、5整除。 ②能被4、25整除:末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 ③能被8、125整除:末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 ④能被3、9整除:各个数位上数字的和能被3、9整除。 ⑤能被7整除: A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
⑥能被11整除:
A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
⑦能被13整除:
A.末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。 整除的性质 ①如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 ②如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 ③如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 ④如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 18.余数及其应用 基本概念 余数的性质
19.余数、同余与周期 同余的定义 ①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余于b模m。 同余的性质 ①自身性:a≡a(mod m); ②对称性:若a≡b(mod m),则b≡a(mod m); ③传递性:若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡ c(mod m); ④和差性:若a≡b(mod m),c≡d(mod m),则a+c≡b+d(mod m),a-c≡b-d(mod m); ⑤相乘性:若a≡ b(mod m),c≡d(mod m),则a×c≡ b×d(mod m); ⑥乘方性:若a≡b(mod m),则an≡bn(mod m); ⑦同倍性:若a≡ b(mod m),整数c,则a×c≡ b×c(mod m×c); 关于乘方的预备知识 ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 被3、9、11除后的余数特征 ①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod 9)或(mod 3); ②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11); 费尔马小定理 20.分数与百分数的应用 基本概念与性质 常用方法 ①逆向思维方法:从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法:找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。 ③转化思维方法:把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。 ④假设思维方法:为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法:在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况:A、分量发生变化,总量不变。B、总量发生变化,但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。 ⑥替换思维方法:用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法:总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。 ⑧浓度配比法:一般应用于总量和分量都发生变化的状况。 21.分数大小的比较 基本方法 ①通分分子法:使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。 ②通分分母法:使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。 ③基准数法:确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法:当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。 ⑤倍率比较法:当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法:把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。 ⑦倍数比较法:用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法:用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。 ⑨倒数比较法:利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。 ⑩基准数比较法:确定一个基准数,每一个数与基准数比较。 22.分数拆分 将一个分数单位分解成两个分数单位之和的公式 ① 1/n=1/(n+1)+1/n(n+1); ② 1/n=a/n(a+b)+b/n(a+b),其中a,b为n的两个因数。 23.完全平方数 完全平方数特征 ①末位数字只能是:0、1、4、5、6、9;反之不成立。 ②除以3余0或余1;反之不成立。 ③除以4余0或余1;反之不成立。 ④约数个数为奇数;反之成立。 ⑤奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。 ⑥奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 ⑦两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式 完全平方和公式 完全平方差公式 24.比和比例 比
比例 按比例分配
25.综合行程 基本概念 基本公式 关键问题 相遇问题 追及问题 流水问题
过桥问题 主要方法 基本题型 26.工程问题 基本公式 ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路 ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关); ②假设一个方便的数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题 经验简评 27.逻辑推理 基本方法简介 ①条件分析—假设法:假设可能情况中的一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾的情况,说明该假设情况是不成立的,那么与他的相反情况是成立的。例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。 ②条件分析—列表法:当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中,表格的行、列分别表示不同的对象与情况,观察表格内的题设情况,运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析——图表法:当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间的关系,有连线则表示“是,有”等肯定的状态,没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 ④逻辑计算:在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外,还要进行相应的计算,根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理:根据题目提供的特征和数据,分析其中存在的规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关的关系式,从而得到问题的解决。 28.几何面积 基本思路 常用方法 1. 连辅助线方法 2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。 3. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。 4. 利用特殊规律
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。 29.立体图形
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