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机械工程力学基础包括三部分：静力学、材料力学和运动力学。 1、静力学：是研究物体平衡时作用力之间关系的科学，主要研究两个问题： （1）力系的简化 研究如何将作用在物体上比较复杂的力系用作用效果完全相同而便于分析的简单力系代替。 （2）力系的平衡条件 研究受力物体平衡时作用在物体上各力之间应该满足的条件。 2、材料力学是研究零件在外力作用下产生破坏，变形和失稳的规律，为既安全又经济地设计零件提供有关强度，刚度和稳定性计算的基本理论和方法。 3、运动力学是研究质点的运动和刚体的基本运动，以及在这些运动中，受力物体的运动与作用力之间的关系。 静力学的基本概念及公理 1、力的概念 力是物体间的机械作用，这种作用使物体的运动状态或形状发生变化。物体运动状态的改变是力的外效应，物体形状的改变是力的内效应。 （1）力的三要素 力的大小、力的方向和力的作用点。 （2）力的单位 采用国际单位制，牛顿（N）或千牛顿（kN）。 （3）标量和矢量 标量：只考虑大小的物理量。如：时间、长度。 矢量：既考虑大小又考虑方向的物理量。如：力、速度。 （4）矢量的表示方法 矢量用按一定的比例尺绘制的有向线段来表示，线段的长度表示矢量的大小，箭头表示矢量的方向，中的AB 线段表示的矢量。为了简化，矢量可以只用一个黑体字母表示，如AB矢量可用F表示,书写时要在字母上方加箭头。 2、力系的概念 力系是同时作用在物体上的一群力。 如果一个力系对物体的作用能用另一个力系来代替而不改变作用的外效应，这两个力系互为等效力系。 若一个力和一个力系等效，则称这个力是该力系的合力。而力系中的各个力都是其合力的分力。把各分力代换成合力的过程，称为力系的合成。把合力换成几个分力的过程，称为力的分解。 3、平衡的概念 平衡是指物体相对地面保持静止或作匀速直线运动状态。 物体在力系作用下处于平衡状态时，称该力系为平衡力系。作 用于物体上的力系，若使物体处于平衡状态，必须满足一定的条 件，这些条件称为力系的平衡条件。 4、刚体和变形固体的概念 （1）刚 体：是指在力的作用下，大小和形状都不发生改变 的物体。 （2）变形固体：是指在力的作用下，形状或大小发生变化的固 体。 在静力学中，通常把物体看成是刚体。 二、静力学公理 所谓公理，就是符合客观现实的真理。静力学的全部理论，都是以静力学公理为依据导出的。 公理一（二力平衡公理） 作用在同一刚体上的两个力，若使刚体处于平衡状态，则这两个力必须大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。 公理二（加减平衡力系公理） 在已知力系上加上或减去任意平衡力系，都不会改变原力系对刚的效应。 推论一（力的可传性原理） 作用在刚体上某点的力，沿其作用线移到刚体内任意一点，不会改变它对刚体的作用。 公理三（力的平行四边形公理） 作用于物体上某一点的两个力的合力，作用点也在该点，大小和方向是由这两个力为邻边所作的平行四边形的对角线确定。此公理也称为平行四边形法则，根据此公理所作出的平行四边形，称为力平行四边形。这种求合力的方法，称为矢量加法。 合力矢F等于原来两个力的矢量和，可用公式表示为：F =F1+F2 推论二（三力平衡汇交定理） 当刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交一点。（证明略） 公理四（作用与反作用公理） 两物体相互作用的力，总是同时存在，这两个力的大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在这两个物体上。 注意： 1、公理一、公理二和推论一只适用刚体而不适用于变形体。 2、公理四是作用于两个物体上，公理一则是作用在同一物体上的，不要把公理四与公理一混同起来。 第二节 约束与约束反力 机械和工程结构中，每个零部件都是相互联系并相互制约的， 它们之间存在着相互作用力。因此，在解决工程中一般的力学问 题，都必须对零部件的受力情况进行分析。 自 由 体：不受任何限制，可向一切方向自由运动的物体。 非自由体：受其它物体的限制，沿着某些方向不能运动的物体。 约 束：限制非自由体运动的物体，称为该非自由体的约束。 （约束是物体，而不是力） 主 动 力：使物体产生运动或运动趋势的力。主动力一般是给定或已知的。例如物体的重力。非自由体在主动力作用下，将产生运动趋势。 约束反力：由约束引起的对物体的作用力称为约束反力。约束反力为未知量。因为约束反力是限制物体运动力所以它的作用点应在约束与被约束物体相互连接或触处，它的方向应与约束所能限制的运动方向相反这是确定约束反力的方向和作用点位置的基本依据。 工程中常见的约束为以下几种： 1、柔体约束 是由绳索、链条或带等非刚性体形成的约束。它们只能受拉不 能受压。柔体约束对物体产生的约束反力的方向，沿着约束的中心 线背离被约束物体。这种约束的约束反力常用FT来表示。 2、光滑面约束 这种约束是由与非自由体成点、线、面接触的物体所形成的约束。由于它只能限制物体沿接触处公法线方向的运动，而不能阻止物体沿光滑接触面切线方向的运动。因此，光滑面约束对物体的约束反力，是通过接触点沿着公法线指向被约束物体。其约束反力常用F N来表示。 3、光滑铰链约束 光滑铰链约束是指当两个非自由体相互连接后，接触处的摩擦忽略不计时，只能限制两个非自由体的相对移动，而不能限制它们相对转动的约束。由于两个光滑圆柱面接触时，因主动力的方向不能预先确定，故约束反力方向也不能预先确定。因此，圆柱形销钉连接的约束反力通过铰链中心，方向不定，常以两正交分力Nx、Ny来表示。 光滑圆柱形销钉连接常用于零部件的支座，有下面两种形式： （1）固定铰链支座 用销钉将物体和固定机架或支承面等连接起来，称为固定铰链支座； （2）活动铰链支座 如果在固定铰链支座的座体与支承面间加装滚轮，就是活动铰链支座。 第三节 物体的受力分析与受力图 静力学中要研究力系的简化和力系的平衡条件，首先必须先研究分析物体的受力情况并画出作用在物体上所有的力。 分离体：把所研究的物体解除全部约束，把它从周围的物体中分离出来，此时的物体称为分离体。 受力图：在分离体上画出全部的主动力和约束反力。这种表明物体受力情况的图形称为该物体的受力图。受力图上的力用力矢表示。 画物体受力图的步骤： 1、画出所研究对象的分离体； 2、在分离体上画出全部的主动力； 3、在分离体上画出全部的约束反力。 第四节 力矩 力偶矩 一、力对点的矩 1、定义 力使物体转动效应的程度，由力的大小F与矩心到力的作用线 垂直距离d的乘积F·d来表示。称为力F对O点的之矩，简称力矩。 2、公式 mo（F）= ±F·d O——力矩中心，简称矩心 d——矩心到力F 作用线的垂直距离，称为力臂。 ±——说明力矩的转动方向。 规定： 力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号； 力使物体绕矩心作顺时针方向转动时，力矩取负号。 3、单位 牛顿·米（N·m） 千牛顿·米（KN·m） 4、性质 （1）力F 沿作用线移动，力矩的大小不变。因为力的大小，方 向和力臂不变。 （2）力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 因为mo（F）=±Fd =0， 必有F =0 或 d =0。 二、合力矩定理 在力矩的计算中，有时力臂的计算比较麻繁，所以常用分力对某点之矩和合力对该点之矩的关系来计算，即合力矩定理。 合力距定理 平面汇交力系（各力的作用线都汇交于一点的平面力系）的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。即： mo（F）=mo(F1)+mo(F2)+…+ mo (Fn)=Σmo (Fi) (3-2) 三、力偶 1、定义 把作用在同一物体上大小相等，方向相反，但不共线的平行力 组成的力系称为力偶，记作（F，F′）。力偶中两力的作用线的垂 直距离d称为力偶臂。两个力所在的平面称为力偶的作用面。 2、力偶矩 力偶作用于物体的效应只能使物体转动而不能移动。力偶对物体转动效应的强弱用F与d的乘积来度量，称为力偶矩，并用M表示，即： M =±Fd F -力偶中的力； d -力偶臂，两力作用线的垂直距离； ±-力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩取正号，力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩取负号。 力偶矩的单位与力矩单位相同。 3、力偶的性质 （1）力偶无合力，力偶不能与力等效，力偶只能用力偶平衡。因此力偶和力是静力学的两个不同的基本物理量。 （2）力偶对其作用面上任意点之矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的位置无关。 （3）力偶的等效性 两个力偶等效的条件是：它们的力偶矩的大小相等，力偶转向相同，也称力偶的等效性。 （4）推论： 推论一 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应。其原因是：移转过程中其力偶矩的大小及力偶的转向都没变，故其作用效果也不会改变。 推论二 在保持力偶矩大小和力偶转向不变的情况下，可任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短而不改变此力偶对物体的转动效应。 4、符号表示 根据力偶的性质，表示力偶时，只在力偶的作用平面上任意位置处画一带箭头的弧线，并标出力偶矩的值即可。 四、力的平移定理 力的平移定理 将作用于物体上的已知力F平移到物体上任一点O 时，必须附加一个力偶，才能与原力的作用等效。附加力偶的力偶矩 等于原力F对平移点O的力矩。 五、平面力偶系的合成与平衡 1、力 偶 系：作用于同一物体上的若干个力偶组成一个力偶 系。 2、平面力偶系：作用在同平面力偶系一平面内的力偶系称为平 面力偶系。 六、平面力偶系的合成与平衡 1、合成 由理论可以证明，作用在同一平面内的一个力偶系合成的结果为一合力偶，合力偶矩的大小等于各分力偶矩大小的代数和。即： m =m1+ m2+···+mn = Σmi 2、平衡 物体在力偶系作用下处于平衡状态时的必要与充分条件是：力偶系中各个力偶矩的代数和等于零。即： Σmi = 0 （ 第五节 平面力系 1、平面力系：各力的作用线都在同一平面内的力系。 2、平面汇交力系：在平面力系中如果各力的作用线全部汇交于 一点的力系； 3、平面任意力系：如果各力的作用线既不汇交于一点，相互间也不全部平行的力系。 本节重点研究平面汇交力系、平面任意力系一些基本概念和平 衡条件及根据平衡条件解决实际问题。 一、平面汇交力系 1、力的投影 （1）定义 在力F作用线所在平面内取直角坐标系Oxy，从力F的两端点分别向坐标轴作垂线，得两垂足的线段。力的投影是代数量。符号： Fｘ、Fｙ。 （2）正负号 正：起点垂足到终点垂足趋向与轴正方向一致。 负：起点垂足到终点垂足趋向与轴正方向相反。 （3）两种情况 第一种：若已知力F的大小为F（恒为正值），它和x轴的夹角 为a（取锐角），则力在轴上的投影Fｘ、Fｙ、可按下式计算： Fｘ=±Fcosα Fｙ=±Fsinα 结论: （1）当力和轴平行(或重合)时,力在轴上投影的绝对值等于力的 大小； （2）当力和轴垂直时,力在轴上的投影等于零。 第二种：当力在坐标轴上投影Fx和Fy已知时，则力F的大小F和力F与x轴所夹的锐角α分别为： 二、合力投影定理 合力在任意轴上的投影，等于诸分力在同一轴上投影的代数和。 即 Fx=F1x+F2x+···+Fnx=ΣFix Fy=Fly+F2y+···+Fny=ΣFiｙ 3、平面汇交力系合成的解析法 若物体上作用着平面汇交力系F1、F2、···Fn。为求出它们的合 力，首先选定坐标系Oxy，求出力系中各力在x、y轴上的投影F1x、 F1y、F2x、F2y···，Fnx、Fny、由公式得 Fx=ΣFix Fy=ΣFiy 合力的大小为： 合力的方向为： （F与x轴所夹的锐角） 合 力 指 向： 由ΣFix及ΣＦiy的正负来确定 4、平面汇交力系的平衡方程及其应用 （1）平衡方程 当平面汇交力系的合力为0时，力系平衡。根据公式得
由此可得： ΣFix＝0 ΣFiy＝ 0 即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在任选的两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。式又称为平面汇交力系的平衡方程。 （2）应用 做题步骤： 第一步：明确研究对象，并画受力图； 第二步：建立坐标系； 第三步：列方程求解。（此步骤适用于各种力系） 二、平面任意力系 1、平面任意力系向一点简化 （1）主矢 大小：F'=
方向：tanθ=
指向：由∑Fx、∑Fy正负来确定。 （2）主矩 大小：mo= mo（F1）+ mo（F2）+···+mo（Fn）=Σ mo（Fi） 结论：主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。 2、固定端约束和二力杆约束 （1）固定端约束： 有一种物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束。固定端约束不仅限制物体在约束处任何方向的移动，也限制物体在约束处的转动。约束反力用两个正交分力Fx和Fy和一个反力偶矩m来决定 。 （2）二力杆约束 如果零部件只受两力的作用而平衡时，称此零部件为二力零部件，简称二力杆。它所受的两力必定沿两力作用点的连线，且等值、反向、共线。也称二力杆约束。
3、 平面任意力系的平衡方程 平衡时必有主矢和主矩为零，由此得出平衡方程为 ΣFix=0 ΣFiy=0 ∑mO（F）=0 或 ΣmA（F）=0 ΣmB（F）=0 （x轴不能与AB连线垂直） ΣFx=0 三、物体系统的平衡 1、静定和静不定问题的概念 通过前面讨论可以看出：有几个平衡方程就可以解出几个未知量。 （1）静定问题 如果所求的未知量的数目小于或者等于平衡方程的数目，则全部未知量都可由平衡方程求出，这一类问题称为静定问题。 （2）静不定问题 如果所求未知量数目大于平衡方程数目就不能解出全部未知量，这类问题称为静不定问题。 静力学主要研究静定问题。 四、物体系统的平衡 物体系统就是由几个物体通过约束所组成的系统，简称物系。如果物系由n个物体组成，如前面所述，平面任意力系的平衡方程数目为3n，因此，可求3n个未知量。 五、考虑摩擦时的物体平衡问题 物体之间都有一定的摩擦，而且有的摩擦所起的作用还是主要的。因此，必须研究摩擦问题。 1、静摩擦力 当两物体尚未发生相对滑动而仅有滑动趋势时，两物体间作用着阻止相对滑动的阻力称为静滑动摩擦力（简称静摩擦力），用Ff表示。摩擦力的作用线在两物体的接触处，作用方向与运动趋势的方向相反。 2、静滑动摩擦定律 物体在力作用下，处于将动而未动状态时，我们称此状态为临界平衡状态或临界状态。物体在临界状态时，所产生的静摩擦力最 大，即最大静摩擦力，用Fmax表示。 最大静摩力的大小与两物体间的正压力（即法向反力）成正比， 即 Fmax=fFN 称此公式为静滑动摩擦定律。式中的比例常数f称为静滑动摩擦因数，它是一个无量纲的正数。 3、考虑摩擦时的平衡问题 物体有摩擦时的平衡问题，仍可应用物体在对应力系下建立平衡方程求解，在求解过程中画受力图和列平衡方程时，不可丢掉摩擦力。 第六节 材料力学的基本概念 强度:把零件抵抗破坏的能力称为零件的强度. 刚度:把零件抵抗变形的能力称为零件的刚度。 稳定性:对于细长压杆不能保持原有直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆丧失了稳定性. 要使零件在外力作用下能够正常工作，必须满足一定的强度、刚度和稳定性。 变形固体：在外力作用下产生变形的物体。 在材料力学中将研究的零件均视为变形固体。 一、变形固体的基本假设 1、均匀连续性假设 认为整个物体充满了物质，没有任何空隙存在，同时还认为物体在任何部分的性质是完全相同的。 2、各向同性假设 认为材料在各个不同的方向都具有相同的力学性质。 二、内力、截面法、应力 1、内力的概念 物体在没有受到外力作用时，其内部就有相互作用的内力存 在，正是由于这种内力的存在，才使物体保持一定的形状。当物体 受到外力作用后，内部相互作用的内力发生了改变，材料力学所研 究的内力，是指由外力引起的内力的改变量。它是由外力引起的， 随外力的改变而改变。当外力达到一定的限度时，零件就要破坏。 2、截面法 截面法是材料力学求内力的方法，其步骤为： 截开：沿物体所要求的内力截面假想的截分为两部分，任取一部分为研究对象； 代替：用作用于该截面上的内力代替另一部分对被研究部分的作用； 平衡：对所研究部分建立平衡方程，从而确定截面上内力的大小和方向。 3、应力 （1）定义 内力在截面上的分部集度称为应力，即单位面积上产生的内力。它的方向由内力的方向决定。 （2）类型 正应力：应力方向与截面方向垂直的应力，其符号为σ。 切应力：应力方向与截面方向相切的应力，其符号为τ。 （3）单位： 采用国际单位制，为帕斯卡（Pa），千帕斯卡（KPa），兆帕 斯卡（MPa），吉帕斯卡（GPa）。其换算为： 1KPa=103Pa 1MPa=106Pa=1N/mm2 1GPa=109Pa 三、杆件变形的基本形式
第七节 轴向拉伸与压缩 一、轴向拉伸与压缩的概念 1、受力特点 作用在杆件上的两个力大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合。 2、变形特点 杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。 这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
二、轴向拉伸和压缩时横截面上的内力 横截面是指垂直于杆件轴线的截面。 求内力的方法为截面法。 拉压变形的内力叫轴力，符号用FN。 1、轴力的大小 轴力的大小等于所研究部分所有外力的代数和。即 FN =∑F 2、轴力的正负 外力的正负等于轴力的正负。 规定：当外力的方向背离所研究截面时为正号。 当外力的方向指向所研究截面时为负号。 3、轴力图 为了表明各截面上的轴力沿轴线的变化情况，用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，再取垂直的坐标表示横截面上的轴力，按选定的比例尺和轴力的正负把轴力分别画在轴的上下或左右两侧。这样绘出的图形称为轴力图。 绘制轴力图时注意以下几点： （1）轴力图画在实际杆件的下面。 （2）分段原则：以相邻两个外力的作用点分段。 （3）求轴力大小时取外力少的为研究对象。 （4）正轴力画在坐标轴的上侧，负轴力画在坐标轴的下侧。 （5）图形内部用垂直于轴线的竖线表示。 三、轴向拉伸压缩时横截面上的应力 取一等截面直杆，在其表面上沿垂直于杆件轴线方向画直线段ab、cd。然后对其施加拉伸力F。
1、平面假设 在受到拉伸后，杆件产生变形，ab、cd分别平移到a1b1和c1d1位置。 且各线段仍与杆件轴线垂直。由此可得到平面假设，即变形前为平面 的各横截面，在变形后仍为平面， 且仍与杆的轴线垂直。 2、应力 因横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上各点的应力大小相等，方向垂直于横截面，称为正应力。其计算公式为：
FN ——横截面上的轴力； S ——横截面的面积； 正应力的正负号由轴力正负号决定。 四、轴向拉伸和压缩时的变形 杆件在受轴向拉伸时，沿轴线方向伸长，横向方向缩短；压缩时轴向方向缩短，横向方向伸长。
1、绝对变形 （1）轴向绝对变形 杆件在轴向方向伸长或缩短量，用△L表示。 △L=L1—L （2）横向绝对变形 杆件在横向方向伸长和缩短量，用△d表示。 △d=d1-d 2、相对变形 因为绝对变形与杆件原尺寸有关，为消除原尺寸的影响，以单位长度的绝对变形来衡量杆件的变形程度，称这种变形为相对变形或线应变。即， ε=△L/L （轴向线应变） ε1=△d/d （横向线应变） 在拉伸时，ε为正，ε1为负；压缩时，ε为负，ε1为正。 3、泊松比 实验证明，对于同一种材料，在弹性范围内，其横向相对变形与轴向相对变形之比的绝对值为一常数，即：
比值μ称为泊松比或横向变形系数。如前所述ε与ε1正负符号恒相反，因此：
4、虎克定律
E - 材料弹性模量 ES –杆的抗拉压刚度 五、材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能是指材料在外力的作用下所表现出的特性。 1、低碳钢在拉伸时的力学性能 （1）比例极限σP 与弹性极限σe （2）屈服极限σS：强度指标 （3）强度极限σb：强度指标 （4）塑性指标
断后伸长率：
断面收缩率：
2、铸铁在拉伸时的力学性能 强度指标： σbl 3、低碳钢和铸铁在压缩时的力学性能 （1）低碳钢： σP和σS与拉伸时相同，没有σb （2）铸 铁：σby大于σbl近四倍
六、轴向拉伸和压缩时的强度计算 1、许用应力 为了保证零部件正常工作，必需储备一定的强度，我们把极限应力（材料丧失工作能力时的最大应力）除以大于1的系数s作为材料的许用应力，用符号[σ]表示；该系数s称为安全系数。 塑性材料：
脆性材料：
2、强度条件 为了使零件能安全可靠地工作，就必须保证零件的最大工作应力不超过材料的许用应力值，即
上式称为强度条件 。 3、强度计算 （1）强度校核 如果σmax≤[σ]时，强度够； 如果σmax> [σ]时，强度不够。 （2）设计截面尺寸
（3）计算许可载荷
第八节 剪 切 一、剪切的概念及其实用计算 1、剪切的概念 （1）受力特点 外力的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。 （2）变形特点 介于两作用力之间的各截面，有沿着作用力的方向发生相对错动的趋势。 我们称这种变形为剪切变形。 （3）剪切面 发生相对错动的截面称为剪切面。剪切面平行于作用力的作用线，位于相邻两反向外力作用线之间。
2、剪切实用计算 （1）剪力：与外力平行且与剪切面相切 ，符号FQ 。 （2）应力：剪应力，在剪切面上均匀分布。
FQ —剪切面上的剪力； A —剪切面的面积。 （3）剪切强度条件
剪切强度条件解决工程三大类问题：强度校核、设计截面尺寸和计算许可载荷。 1、挤压的概念 是两联接件的接触面发生压陷现象，这种变形称为挤压。 2、挤压实用计算 （1）挤 压 力：接触面上的压力，且与接触面垂直，符号Fjy。 （2）挤压面积：产生挤压变形的接触面，符号Sjy。 注意： 接触面为平面时，挤压面积就是接触面面积。 接触面为曲面时，挤压面积是正投影面积。 Sjy =t×h
（3）应 力：正应力，在挤压面上均匀分布，符号σjy。
（4）挤压强度条件
如果相互挤压的材料不同，只对许用挤压应力[σjy]值较小的材料进行挤压强度核算。 挤压强度条件也可以解决工程实际三大类问题。 第九节 圆轴的扭转 一、扭转的概念 1、几何特点：圆截面； 2、受力特点：在垂直于杆件轴线的不同平面内，受到大小相等，转向相反的力偶作用； 3、变形特点：各横截面绕杆件轴线发生相对转动。杆件任意两横截面相对转过的角度称为扭转角，用φ表示。
二、圆轴扭转时横截面上的内力 1、外力偶矩的计算
P——轴传递的功率，千瓦（KW）； n——轴的转速，每分钟转（r/min）。 2、扭转时横截面的内力 求内力的方法仍是截面法。 例如图，四个皮带轮上分别作用 主动偶矩m1=110 N·m和从动力偶矩m2= 60N·m，m3=20 N·m，m4=30 N·m。求1-1、 2-2截面上的内力。 （1）截开：左、右两部分 （2）代替：内力-扭矩T （3）平衡：列平衡方程。得 左：T1= 右：T1= 结论 扭矩的大小等于所研究部分所有外力偶矩的代数和。即 T =∑Mi
外力偶矩的正负 右手螺旋法则：用右手四指弯向表示外力偶矩的转向，大拇指的指向背离截面时，外力偶矩为正；大拇指的指向指向截面时，外力偶矩为负。
3、扭矩图 为了形象地表示各截面扭矩的大小和正负，以便分析危险截面位置变化的函数图象，这种图形称为扭矩图。取平行于轴线的横坐标x表示各截面位置，垂直于轴线的纵坐标表示相应截面上的扭矩T 。 注意，绘制扭矩图时，分段原则以相邻两个外力偶矩的作用面来分，其它事项与绘制轴力图相同。 三、圆轴扭转时横截面上的应力 1、平面假设 圆轴扭转前的横截面变形后仍保持为平面，且形状与大小及间距不变，仅横截面之间绕轴线发生相对转动。 2、应力 （1） △L=0 ε=0 σ=0； 有剪切变形，必有剪应力τ。 （2）τ的计算公式
τρ——横截面上任意一点的切应力； T——横截面上的扭矩； ρ——所求应力点到圆心的距离； IP——横截面对圆心的极惯性矩。
（3） τ的分布规律 当ρ=ρmax=R 时，τ=τmax，得最大切应力公式为：
则有
3、圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数 （1）实心圆
（2）空心圆
四、圆轴扭转时的变形
五、圆轴扭转时的强度和刚度计算 （1）强度条件
（2）刚度条件
圆轴扭转的强度和刚度条件都可以解决三类问题，即设计截面尺寸，校核强度、刚度和求许可传递的功率或力偶矩。 第十节 直梁的弯曲 一、平面弯曲的概念 1、弯曲 （1）受力特点：外力的作用线垂直于杆件的轴线。 （2）变形特点：杆件轴线由直线变成曲线。 这种变形称为弯曲。 2、平面弯曲 （1）纵向对称面：梁的轴线和横截面纵向对称轴构成的平面。 （2）平 面 弯曲：若作用在梁上的外力（包括力偶）都位于纵向对称一面内，且力的作用线垂直于梁的轴线，则变形后梁的轴线将是该平面内的曲线，这种弯曲称为平面弯曲。
3、梁的基本形式 （1）悬臂梁 梁的一端固定，另一端自由。 （2）外伸梁 其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸 出支座之外。 （3）简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座。
二、梁弯曲时的横截面上的内力
如图，求梁n-n截面上的内力，n-n截面到支座A的距离为x，主动力为F。 解：1.求支座A、B的约束反力
2．求n-n横截面上的内力 截开：沿n-n截面截分为两部分， 代替：得两内力 力FQ（F´Q）：作用线平行于截面并通过截面形心，称为剪力。 力偶M(M′)：力偶的作用面垂直于横截面，称为弯矩。 平衡：左 ΣFx=0 ，FA- FQ =0 得：
Σmc=0 ， -FA·x+M=0 （c是所求截面的形心） 得：
结论： 剪力FQ的大小等于所研究部分所有外力的代数和弯矩M的大小等于所研究部分所有外力对该截面形心力矩的代数和。 3、剪力FQ 和弯矩M 的正负规定以变形来定义正负
三、剪力图和弯矩图 1、剪力方程和弯矩方程 FQ=FQ（x） M=M（x） 2、剪力图和弯矩图 用平行于梁轴线的坐标X表示梁横截面的位置，纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，绘制出的图形，分别称为剪力图和弯矩图。绘制这两种图形时，分段原则为：相邻两个力的作用点或力与力偶的作用点来分。其它注意事项与绘制轴力图相同。 四、纯弯曲时横截面上的应力 1、纯弯曲的概念 横力弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。 纯 弯 曲：横截面上剪力等于零，而弯矩为常量。 2、纯弯曲时横截面上的正应力
（1）平面假设 通过观察弯曲时的变形，得出平面假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面且仍垂直于梁的轴线，但旋转了一个角度。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。由理论可以证明，中性轴必通过截面的形心。 （2）正应力的计算公式 根据平面假设和观察变形现象可得出，梁横截面上产生的应力为正应力。其正应力的计算公式为： （2）正应力的计算公式 根据平面假设和观察变形现象可得出，梁横截面上产生的应力为正应力。其正应力的计算公式为：
式中 σ——横截面上距中性轴为y的各点的正应力； M——横截面上的弯矩； y——所求点到中性轴的距离； Iｚ——横截面对中性轴z的惯性矩，它表示截面的几何性质，是一个仅与截面形状和尺寸有关的几何量，反映了截面的抗弯能力，常用单位有m4、mm4。(各种截面的Iｚ由书表给出) (3)应力的分布规律
五、梁弯曲时的强度计算 1、弯曲时的最大正应力
称Wz为抗弯截面系数，它是衡量截面抗弯能力的一个几何量，其单位为mm3或m3。(各种截面的W 由书表给出) （1）对称截面：Wz相等
（2）不对称截面：Wz不相等
2、弯曲时的强度条件 （1）当拉压强度相等时，即 [σl]=[σy]=[σ] 梁的正应力强度条件为
(2) 当拉压强度不相等时，即 [σl]≠[σy] 梁的正应力强度条件为
梁弯曲时的强度条件，可以用来解决校核强度、设计截面尺寸和确定许用载荷三类问题。 六、梁弯曲时的变形
1、挠度和转角 （1）挠度：轴线上的任一点在垂直于轴线方向的位移。符号用y （2）转角：任一横截面绕中性轴相对于原来位置所转动的角度。符号用θ。 第十一节 组合变形的强度计算 一、组合变形的概 零件在外力作用下同时产生两种或两种以上基本变形，这种变形称为组合变形。 二、弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算 零件在外力作用下，将产生弯曲与拉伸组合变形。 1、外力分析 将力F沿x轴和y轴方向分解为两个分力Fx和Fy。 Fx=F cosα 与X轴重合 产生拉伸 Fy=F sinα 与X轴垂直 产生弯曲
2、内力分析 画轴力图和弯矩图，如上面图。 N =Fx=F cosα Mmax=Fy·L=F·Lsinα 3、应力分析 由内力图所知，危险截面发生在固定端截面A处。 3、应力分析 由内力图所知，危险截面发生在固定端截面A处。 拉伸时产生的正应力：
弯曲时产生的最大正应力：
由此得上下边缘处的正应力分别为
叠加后应力分布图如上图。 4、强度条件 弯拉组合变形
弯压组合变形
三、圆轴弯曲与扭转组合变形的强度计算 1、外力分析 F：作用线与轴线垂直，产生弯曲。 M ：作用面与轴经线垂直，产生扭转。 M =FR 2、内力分析分别画M和T图
Mmax=PL T =m 3、应力分析 （1）相当应力
（2）强度条件
式中：M—危险截面的弯矩； T—危险截面的扭矩； Wz —危险截面的抗弯截面系数。 组合变形的强度条件仍可解决工程实际中的三大类问题，即： （1）校核组合变形的强度； （2）设计截面尺寸； （3）确定许可载荷。 第十二节 压杆稳定 一、压杆稳定的概念 由前面所述，研究拉伸与压缩强度计算时，零件的破坏是由强度不够所造成的。但对细长压杆来说，当其压应力远远小于材料的极限应力时，它便变弯，或因变弯而折断。这种不能保持压杆原有直线平衡状态而突然变弯的现象， 称为压杆丧失了稳定性。 二、临界力与临界应力 1、临界力：Fcr 压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的状态称为压杆的临界状态。此时的压力，称为临界压力，简称临界力。 临界力的欧拉公式：
式中：E -材料的弹性模量； Imin-截面的轴惯性矩； μ-支承系数，见书表； L-压杆的长度。 2、临界应力 惯性半经
压杆的柔度
欧拉公式
三、欧拉公式的适用范围 1、λ≥ λp ：欧拉公式适用 2、λ≤ λp ：经验公式 对于塑性材料 σcr=σS-aλ2 对于脆性材料 σcr=σb-aλ2 式中a是与材料有关的常数，单位MPa 四、压杆的稳定校核 稳定条件
Sw ：规定的稳定安全系数 Sg ：压杆的工作安全系数
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