第10集 函数的零点——2018年高考数学天津卷理科第14题

高考中，函数的零点问题往往是由基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）组合而成，题目常常以选择题或填空题形式出现，考查数形结合的思想，有些题目难度非常大。

函数的零点问题常常可以分成三类问题：一是判断函数零点所在的区间，由零点存在定理完成；二是判断函数零点的个数；三是已知函数零点的个数，求参数的取值范围。

已知函数的零点，求参数的取值范围常用的方法有以下几种：

（1）直接法：直接解方程，求得根，或者通过解不等式确定参数的取值范围。

（2）分离参数法：先将参数进行分离，转化为求函数的值域问题加以解决。

（3）数形结合法：先对解析式进行改写，在同一坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求得参数的取值范围。

一·套路

二·脑洞

本题考查函数的零点（方程的根），涉及函数的图象、函数的性质、函数的零点等知识点，考查数形结合的思想和分类讨论的思想，属于难题。

本题首先根据自变量的取值范围，分离参数，转化为函数的值域问题；然后分离常数得到两个对勾函数，将问题转化为对勾函数与直线的交点问题；最后作出函数的图象，通过数形结合求得参数的取值范围。

值得说明的是，对勾函数是高考中的热点，因此，对于对勾函数的图象和性质务必十分熟悉。当然本题不采用分离常数得到对勾函数，而借助导数求解也是可以的。

三·迁移

以分段函数为载体，利用零点个数考查参数的取值范围问题，是高考中的高频试题。这类试题往往需要缜密的思维，严谨的逻辑，和强大的计算，但其基本思路相差无几，几乎都是利用数形结合的思想转化。不信，你看2016年天津高考理科数学的第8题，是不是倍感亲切。