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【题头】 简谐运动是最简单、最基本的机械振动，如果一个做机械振动的物体的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反（即满足：F=‒kx，k为常数），就能判定它是简谐运动。弹簧振子、单摆等是我们熟悉的简谐运动，还有哪些机械运动是简谐振动呢？请看下面的例题。 【例题1】 “双弹簧振子”的运动。 如图所示，将两个劲度系数分别为k1和 k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动。请证明小球所做的运动是简谐运动。 【解析】 当小球向右运动到任意位置C，离开O的位移为x，此时小球受到两个弹力F1、F2，方向沿x轴负方向，如图所示。 两个力的合力即为小球的回复力，即F=‒(F1+F2)=‒(k1x+k2x)=‒ ( k1+k2)x，其中k1+k2为常数，所以F与x成正比。回复力F沿x轴负方向，位移x沿x轴正方向，F与x方向相反。由此证明小球所做的运动是简谐运动。 【例题2】 “类单摆”运动。 如图，可视为质点的小球在光滑的圆弧面上振动，圆弧面所在圆周的半径远远大于圆弧的长度，试证明小球的运动可以视为简谐运动。 【解析】 设小球质量为m，圆弧的半径为R，小球相对平衡位置的位移为x. 小球的重力沿切线方向的分力是小球沿圆弧振动的回复力F回=mgsinθ 当半径远远大于圆弧的长度时，θ很小，小球位移的大小与θ角所对的弧长及θ角所对的弦都近似相等，因而sinθ≈x/R，且位移方向与回复力方向相反，所以回复力为F回=‒mgx/R，所以小球的运动可以视为简谐运动。 【例题3】 电场中的简谐运动。 如图所示，M、N是真空中两个电荷量均为+Q的固定点电荷，它们间的距离为2L，O是MN连线的中点。一电荷量为+q的带电粒子放置在M、N连线上的P点，P、O间的距离为d.已知静电力常量为k，不计粒子重力。 现将带电粒子从P点由静止释放，若d<>，带电粒子所做的运动能否视为简谐运动？试分析说明。 【解析】 带电粒子由静止释放后，将以O为平衡位置振动。以O为原点建立如图所示的坐标轴。 当带电粒子相对坐标原点的位移为x时，带电粒子所受的电场力： 由题意可知，x<>，则 所以，当d<>时，带电粒子的运动可视为简谐运动。 【品析】 一个运动是否是简谐运动，除了用F=‒kx来判断外，也可以通过简谐运动的特征来分析。如简谐运动质点的运动方程x=Acosωt；简谐振动的周期满足 【拓展1】 圆周中的简谐运动。 当一质点以角速度ω做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。请分析论证小球在x方向上的分运动是否符合简谐运动的特征。
【解析】 质点从A点运动到B点，在B点将速度分解，如图所示。
A点速度v0沿x正方向，所以v0即为x方向上经过平衡位置O点的速度。 B点速度沿x方向的分量为vx= v0sinθ① B点在x方向的投影x= Rcosθ② B点加速度沿x方向的分量为：ax =‒Rω2cosθ③ 由牛顿第二定律可得：Fx =max=‒mRω2cosθ④ 由②④得：Fx= ‒mω2x，其中的mω2对于匀速圆周运动是不变的，说明小球在x方向上的分运动是简谐运动。 也可以采用如下方法来分析： 将①②两式两边平方并相加 整理后得 因v0和R均不变，所以式中 【拓展2】 当一个较为复杂的物理过程，在某一方面的特征与一个简单的物理过程特征相同时，我们可以通过研究简单物理过程的规律了解复杂的物理过程。如对平抛运动的研究可以转化为研究竖直方向和水平方向的直线运动。 小球在竖直面内做匀速圆周运动，则小球在水平地面上形成投影的运动是简谐运动，这是可以证明的结论。设小球的质量为m，角速度为ω，半径为A，从开始计时经时间t小球位置如图所示。
a．取过圆心O水平向右为x轴，则小球的位移在x轴方向上的分量可表示为x=Asinωt。以此为例，写出小球在x轴方向的速度vx、加速度ax及合外力Fx随时间t的变化关系。 b．物体做简谐运动时，回复力应该满足F=－kx，则反映该投影是简谐运动中的k值是多少？ 【解析】 a．对匀速圆周运动，线速度v=ωA，向心加速度a=ω2A，合外力F=mω2A。 在x轴方向上，有： b．小球在x轴方向上为简谐运动，故Fx=－kx，所以k=mω2 【小试牛刀】 如图所示，一个半径为R、电荷量为+Q的均匀带电圆环固定在真空中，环心为O，MN是其中轴线。现让一电荷量为‒q、质量为m的带电粒子从MN上的P点由静止释放，P、O间的距离为d.不计粒子重力。试证明：当d<>时，带电粒子做简谐运动。
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