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伸缩自如太聪明 一块手表误性命 请看视频吧 …… 扩展猫粮 对了，昨天B站 “薛定饿了么催更团” 里，很多粉丝提到今天考高数，相信大家一定考的很……既然这样，那我们不如火上浇油轻松一下： 提问：有1条河，河中间有2个岛，有七座桥将河中两个岛及岛与河岸连接起来（如下图）。是否有可能从这四块陆地中任一块出发，只通过每座桥一次，最终回到起点？ 拓扑学——从桥上走来 上面的问题是不是勾起了你一笔画游戏的回忆？ 如果你绞尽脑汁都没想出来，不用沮丧，你的智商很正常。 “七桥问题”，是18世纪著名的古典数学问题之一，这条河在当时属于普鲁士的哥尼斯堡（现在已经归了战斗的民族）。七桥问题提出后，哥尼斯堡市民们纷纷奔走相告，积极试验。但在相当长的时间里，始终未能解决。最终回答了这个问题的，是天才数学家欧拉。他通过对七桥问题的研究，圆满地证明出了结论：无解。并延展出更为广为人知的 “一笔画通杀秘籍” 。
这不算完，大师有别于常人之处，就在于解决了一个问题并不算结束，而是会不断顺藤摸瓜。1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，开创了数学一个新的分支—— 图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新征程。 魔性拓扑学 之 套套，虫子和美杜莎 拓扑学，可定义为 “对特定物件（称为拓扑空间）在特定变换（称为连续映射）下不变之性质的研究，尤其是那些在特定可逆变换（称为同胚）下不变之性质。” 上面这段绕口令听不懂没关系， 回到视频里提到的 “同胚”，也可以叫做“拓扑等价”，这里我们通过一些诡异的图片，再复习一下什么是 “同胚”，比如： 很容易理解，这两幅套套一样的图，是 “同胚”（或者叫拓扑等价）的。它们都只有1个凸起，虽然粗细不一样。 那你看下面这幅图，和上面的图还是同胚吗？ 答案：是的！这个蚯蚓一样的家伙，和上面的套套，是拓扑等价的。那再看一幅图: 如果没有右下那支笔，上面这幅美杜莎一样的东西，和前面的东西，是同胚吗？ 答案：依然是的！ 但是，（敲黑板）“如果没有右下那支笔” 是一个非常重要的先决条件！一旦美杜莎拿着根笔，那么就和上面的套套，蚯蚓不是一回事了。 两个物体是否同胚，要看在拓扑变换后，点、线、体的数目和原来是不是一样。一般来说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就可以算作是拓扑变换，变换后的各种形态都是拓扑等价的。 这里的重点是，原来的东西不能割开分离。否则就不是“同胚” 这就好比视频里，不理不理胳膊上那块突然出现的水果表，看似无关紧要，却导致前后两个不理 “不再同胚”，最后变形逃脱失败。 魔性拓扑学 之 我可以盯着这个轮胎看一天 提到 “拓扑变换”，下面再看一个问题： 在一个轮胎的表面上打一个洞，有没有办法把轮胎的内表面翻到外面来？ 答案：可以。
有趣的是，翻转前后，轮胎的经线和纬线却发生了变化！ 魔性拓扑学 之 永远梳不好的毛球 继续深入感受一下拓扑学的魔性，假设有一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平不留下任何一撮毛竖着或者像发漩一样的漩涡吗？ 答案：不可能。 “毛球定理”，由布劳威尔首先证明。用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场。 简单的说，你不可能把所有的头发都按照 “相同的趋势” 梳到一起。一定存在某个“奇点”。 毛球定理在气象学上有一个有趣的应用。由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此地球上一定有风速为 0 的地方，也就是我们前面提到的台风（也可以是飓风或者气旋）的中心，即“奇点”。 毛球定理还出现在很多童鞋都深感兴趣的 ——电子游戏里！很多人在玩第一人称游戏的时候会发现一个问题：当你上移鼠标，让你的角色抬头看天的时候，一个手抖就会发现自己的角色瞬间转了一百八十度；另一些游戏里同样的现象会发生在朝脚底下看的时候。这就是你遭遇了毛球的 “旋（奇点）” 。 出现这一现象是因为游戏引擎需要解决一个数学问题：玩家用鼠标输入的数据只是一个视线轴，游戏画面其实理论上可以绕这个轴任意旋转的。那么实际的画面到底应该哪里是上哪里是下呢？ 这就需要给每一个鼠标数据对应一个方向——也就是一个向量场。不幸的是，毛球定理指出这个场一定有至少一个不连续点，所以在这个点附近，鼠标极其微小的运动都会导致画面大幅翻转。 魔性拓扑学 之 你见，或者不见，这个点就在那里 把一张你们当地的地图平铺在地上，你一定能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。
1912 年，荷兰数学家布劳威尔证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）。 除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团放在另一张纸上，纸团上一定存在一个点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。
这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同（虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方）。
—————————— 除了对各数学分支间接的影响外，拓扑学还与很多学科都有交叉，比如在济学中，对于经济的数学模型，均衡的存在性、性质、计算等根本问题都离不开代数拓扑学和微分拓扑学。对物理学（如液晶结构缺陷的分类）、化学（如分子的拓扑构形）、生物学(如DNA的环绕、拓扑异构酶)都有直接的应用。 计算机科学，更是离不开拓扑学。比如在机器人的研究中，机器人的各种可能姿势可透过被称为“位形空间的流形”来描述。在运动规划里，会找出在位形空间内两个点间的路径。这些路径表示机器人关节等部分移至所需位置与姿势的运动。而这些，都属于拓扑学的范畴。 你是否有发现过一些魔性不可思议的拓扑学现象？留言告诉我们呀！
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