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数系从整数扩张到实数，其实并不是一件简单的事情。 光增加实数本身意义不大，对应的计算规则也需要跟着扩张。否则就好像兑换了比特币，但发现没有消费场景，这就尴尬了。 比如，我们知道： 通过极限理论，可以把乘方扩展到实数范围，比如： 那么，下面这两个针对正整数的运算是否可以扩展到实数范围：
阶乘是定义在正整数上的，比如： 那么： 定义0的阶乘等于多少，数学家最主要考虑的是自洽。 自洽的意思是说，数学是环环相扣的，增加一个新的定义，必须让之前的公理、公式都成立。否则得不偿失。 我们来考虑 那么令 已知
才能让上面这个等式成立，才能自洽。 现在我们知道了：
放在坐标轴上也就是这些点：  要把阶乘扩展到实数：
以此为前提，最自然的想法就是找到一条穿过这些点的线，比如： 这种折线我们一般不考虑，性质不“好”，好多地方不可导，这样插值在数学里面意义不大。 看着还行，但是插值点多了之后（下面增加了 伯努利、欧拉、哥德巴赫尝试过各种插值法（详见神奇的伽马函数）。 我这里介绍一种插值方法，考虑这个积分：
两边对
即得到：
令
这个就是我们要的插值函数，稍微换一下符号，写作（高斯就是这么标记的）：
此时有：
欧拉和勒让德把这个稍微改动了一下，就是现在用的Gamma函数：
此时有：
图像如下： 可能大家非常不习惯，为啥：
大家猜测这样定义的话，欧拉后来定义的beta函数会比较对称：
否则按照高斯的标记法，beta函数得长这个样子：
可能到时候同学们又会抱怨beta函数难以记住了。 哎，总之阴差阳错，gamma函数就是长这个样子了。就好像圆的周长是：
为什么会多个 2 啊？这也是欧拉给我们留下的数学遗产。 3 Gamma函数唯一吗？ 其实，能够完成插值的函数不止一个，有非常多，比如： 再比如： 要我说，上面这两个插值函数还好一些，不像Gamma函数在 那么数学家到底怎么选择？怎么判断哪一个更“好”？直到Bohr-Mullerup定理出现，才算有了一个标准。 Bohr-Mullerup定理说的是，Gamma函数是唯一在定义域
前面两个条件不说了，以上的插值函数都满足，数学家最看中的是最后一个条件。 最后这个条件说明这个函数性质良好（可以参看Importance of Log Convexity of the Gamma Function），在可选的插值函数中选择一个这样的函数，数学家还算满意。 当然，也有不接受这个选择的数学家，并且其他的插值函数在某些条件下也是有用的，具体可以参看这篇文章。 Gamma函数由于欧拉的影响力，以及还不错的性质，最终被大多数数学家所接受。 4 分数导数 要是对
有：
那么用Gamma函数来重新定义结果：
这样，导数又可以扩展到分数阶，比如：
确实，这是分数微积分的起点。 5 总结 从整数到实数，数系的扩张很不简单，需要数学家们付出巨大的努力。通过Gamma函数可见一斑。 关于数系的扩张，我们也曾经写过几篇相关的文章： 本文参考： |
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的泰勒展开：
有：
