高一预科-----1.31函数的基本性质--单调性与最大（小）值

1.31函数的基本性质---单调性与最大（小）值

研究函数基本性质的必要性？规律

在初中学习函数时,已经重点研究了一些函数的增减性,只是较为粗略,未明确给出有关函数增减性的定义,对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出,而本节内容,正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,既让学生理解到从图象的角度“看”函数的增减变化,又从解析式的角度“算”函数的单调变化,“看”函数图象的变化是让学生获得函数单调性的直观认识,“算”函数的单调变化是从数量关系的角度通过逻辑推理进行理性认识,体现数形结合的重要思想.

实际生活中求解利润、费用的最大与最小，用料、用时的最少，流量、销量的最大，选取的方法最多、最少等问题都涉及到求最值。

 

 

 

 

 

一．函数单调性

定义：

1.一般地,设函数f（x）的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁、x₂,当x₁<x₂时,都有f（x₁）<f（x₂）,那么就说函数f（x）在区间D上是增函数.

2.一般地,设函数f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁、x₂,当x₁<x₂时,都有f（x₁）>f（x₂）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.

增减性整理

1.

 

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3.

增减函数的几何意义：增函数从左向右看,图象是上升的.函数值变化趋势函数值随着自变量的增大而增大;减函数从左向右看,图象是下降的,函数值随着自变量的增大而减小.

利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤

（1）设x₁、x₂是给定区间内的任意两个值,且x₁＜x₂；

（2）“作差”f（x₁）-f（x₂）,并将此差式变形

（3）“判号”f（x₁）-f（x₂）的正负

（4）“结论”根据f（x₁）-f（x₂）的符号确定其增减性.

例1.若f(x)在R上是减函数，试比较与的大小

 

例2.证明f（x）=在（1,+∞）上是单调递增函数

 

 

 

二．函数最值定义

1、函数最大值的定义：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

(2)存在x₀∈I，使得f（x₀）=M. 那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值，记为y_max＝f（x₀）.

2、思考并类比函数的最大值的定义，给出函数最小值的定义

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

(2)存在x₀∈I，使得f（x₀）=M.那么，我们称M是函数y=f（x）的最小值，记为y_min＝f（x₀）.

例1、下图是函数在区间R上的图象，则函数的最大值_______最小值为________       

例2..求函数在区间［1，4］上的最大值和最小值.

 

例3.求函数在区间上的最大值和最小值.

 

 

例4.求函数在区间［1，4］上的最大值和最小值.

 

 

例5.求函数在区间［2，6］上的最大值和最小值.