什么是庞加莱定理？什么是庞加莱猜想？

一般来说，庞加莱定理即庞加莱回归定理：在有限体积下的力学体系在足够长时间后总可以回复到初始状态附近。作为一个物理定理，庞加莱回归定理仿佛预示着历史的重演。也就是说，历史上发生过的事情，在足够长的时间以后，都会几乎一样的发生。当然，这只是我们的设想。庞加莱回归定理还有量子力学版本：有限粒子数的量子体系，在足够长时间以后，回归到初始状态附近。

庞加莱回归定理和热力学第二定律之间有些“矛盾”。因为热力学第二定理告诉我们，热力学平衡态下有限体积的气体其膨胀是自发的。这意味着有限体积的气体是不能回到初始状态的。该如何理解这两个理论之间的“矛盾”呢？事实上，热力学定律只适用于粒子数趋于无穷大的情形，而庞加莱定理则不需要考虑粒子数到底有多少。换句话说，热力学第二定律是一个近似理论，而庞加莱定理则是更加准确的理论。但这不代表热力学第二定律就是错误的，相反，我们的宏观世界由于粒子数众多，导致庞加莱回归定理里面的“足够长时间”基本上就是无穷大，所以完全可以认为，热力学第二定律是正确的，不仅如此，热力学第二定律其实是庞加莱定理的特例！

至于细思极恐，完全不存在！难道说要为无穷大时间以后发生的事情担心吗？那纯属杞人忧天。

庞加莱猜想，是一个拓扑猜想：一个三维流形如果能同伦等价于一个三维球面，那么该流形一定同胚于三维球面。一般来说同伦的要求低于同胚。一个点不能同胚任何三维流形，但是单连通三维流形一定可以同伦与一个点！

庞加莱猜想还有一个稍微通俗的说法：三维单连通、闭流形一定同胚于三维球面。这个猜想的证明在2002年被数学家佩雷尔曼证明了。

且说这么多吧。