高中物理：求解变力做功的几种方法

功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法。

一、动能定理法

例1、如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？

图1

解析：物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。分析上式可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A运动到B的过程中，弹力不做功；重力在物体由A运动到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：

即

可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。

小结：利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。这是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。

二. 微元求和法

例2、如图2所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。

图2

解析：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小位移……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：

小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。

三、功能原理法

如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这就是功能原理。如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。

例题同例1，求物体从A运动到B的过程中产生了多少热量。

解析：以AB为零势能点，则由A运动到B的过程中机械能变化为，则由功能原理，有能的转化过程，由机械能转化为热能。

小结：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力所做的功比较方便。

四、平均力法

例3、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）

解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。，可用平均阻力来代替。

如图3所示，第一次击入深度为，平均阻力为，做功为：

图3

第二次击入深度为到，平均阻力为：

位移为做功为：

两次做功相等：

解后有：

小结：当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力，然后再利用功的公式进行求解。类似的例子还有很多，像求弹簧弹力做功时，就可以用这种办法。

五、图象法

例题同例3

解析：因为阻力，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出图象，如图4所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。

图4

由于两次做功相等，故有：

（面积）

即

小结：一个看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手，但通过图象变换，就使得解题过程简单、明了。可见，图象法是一个很好的解题方法，值得掌握。

六、用公式求解

例4、质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。

解析：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用来求解，但可用公式来计算。

根据题意，机车所受阻力，当机车速度达到最大值时，机车功率为：

根据，该时间内机车牵引力做功为：

根据动能定理，得牵引力克服阻力做功为：

故阻力做功为：

小结：对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。

七、能量守恒法

例5、如图5所示，一劲度系数的轻弹簧两端各焊接着一个质量为的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取）求：

（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。

（2）此过程中力F所做的功。

图5

解析：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为，A上升的加速度为。

A原来静止时，因受力平衡，有：

设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为，有：

B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为，对A有：

对B有：

由位移公式，对A有：

由①④式，得：

由⑤⑥式，解得

分别解②③得：

（2）力作用的0.4s内，在末状态有，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转化为系统的重力势能和动能，即：

小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。

八、机械能守恒法

例6、如图6所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度，求弹簧的弹力对物体所做的功。

图6

解析：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则

对状态A：

对状态B：

由机械能守恒定律得：

小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。

九、转变研究对象法

例7、如图7所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，AB的长度，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。

图7

解析：在本题中，只有绳子拉力对滑块做功，该拉力大小虽然不变，但方向时刻改变（与水平方向的夹角逐渐增大），故属于变力做功，不能直接求解。但如果将研究对象由滑块转变为绳的另一端，因为人的拉力为恒力，所以是恒力做功，显然这个恒力做功与绳子对滑块拉力做功是相等的，故可以用人对绳子做的功代换绳子拉力对滑块的功。则有。由几何关系可求得s，联立即得。

小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。

十、利用

在匀强电场中移动电荷的时候，可以直接根据恒力做功的公式求解。如果是在非匀强电场中，由于电场力是变力，不能用功的定义式求解，但若已知电荷的电量和电场中两点间的电势差，我们就可以用公式进行求解。

例8、电场中有A、B两点，它们的电势分别为，把电量的电荷从A点移动到B点，是电场力做功还是克服电场力做功？做了多少功？

解析：电荷从A到B的过程中，电场力作的功为：

因为，所以是电场力做功。

小结：求非匀强电场中电场力做功时，一般都用该方法求解。