费马大定理传奇-04

费马大定理传奇-04 来自琦记杂谈 00:00 19:27

前文说到费马大定理救了沃尔夫斯凯尔一命，为了感谢费马大定理，沃尔夫斯凯尔还专门设立了一个奖项以表彰解决费马大定理的人。

在宣布了这个奖项之后，在几周时间里参赛论文跟雪花一样往哥廷根大学飞，就跟当年徐迟写报告文学《哥德巴赫猜想》之后中国各个大学数学系每天都能收到成捆的证明是一样的，当然了，那些证明都是错的，而且大部分错的都很离谱，真正研究数学问题的数学家是不会用这种方式投稿的，而是会发给专门的数学期刊杂志上。当年审核证明工作是哥廷根大学负责的，所以大学就找了一个人专门负责审核，他们就找到了数学系主任爱德蒙·兰道教授，他这一审从1909年审到了1934年，这段时间每个月都有上百封信发过来，导致他都无法开展正常的工作，他回信都回烦了。最后他搞出一个套路，他印了很多卡片，卡片上只有几个字是需要填的，内容是：亲爱的某某某，感谢你寄来关于费马大定理的证明，证明中第一个错误出现在XX页XX行，这使得证明无效。兰道把审核的任务就交给他的学生，他学生也都是扫一眼就知道大部分证明都是乱写的证明，后来也换了一种方式来回复这些瞎写的信，干脆连第几页第几行都懒的说了，直接就说：我这有一个很好的表述来反驳你的证明，但不幸的是这张纸不够大我写不下。这回复还顺便致敬了一波费马。

爱德蒙·兰道

一直到20世纪初，数学体系遇到了一次逻辑上的大危机，文艺复兴让数学复苏，但几百年来数学家一直在用逻辑证明，从已知推导出未知，关于数论和几何的新概念完爆了古希腊水平，但20世纪初数学家开始回头审视那些数学大厦的基础，这些数学家想更确定这些基本原理是通过严格正确的数学方法得到的，他们在学术上比物理学家还要较真，有这么一个小故事可以体现出他们这种思维。一个天文学家、一个物理学家和一个数学家，他们乘坐火车在苏格兰的平原上飞驰，这三个人看到窗外有一个黑色的山羊在吃草，天文学家看到后就说：“诶，苏格兰的山羊是黑色的。”物理学家赶紧说：“应该是某些苏格兰的山羊是黑色的。”而数学家听了之后就说：“你们说的都不对啊，应该是在苏格兰至少存在着一片田，那里至少存在着一只山羊，而这只羊至少有一侧是黑色的。”这种较真的思维放在学术里就是对每个结论都打破砂锅问到底。比如说三分率是指任意一个数，它要么是正数要么是负数要么零，这对很多人来说都觉得没问题，甚至很多数学家之前都觉得没错，但是1900年初的数理学家认为三分率在没有被证明之前是有可能错的，所以数理学家从那时候就开始着手重建数学大厦的基石。随后三分率被证明是对的，但即便如此一部分数理学家仍然提心吊胆，怀疑数学中仍然有很多约定俗成的东西已经将它们当成对的去运用到逻辑和数学中了，而事先又证明它们最基础的逻辑是什么，最终数理学家发现有那么几条定理是不可能被再证明的，这些就是数学中的公理。数理学家们一共总结出了七条公理，这七条公理称为数学大厦的基石，可以从这七条公理推导出目前已知所有的定理，这其中也包括了费马大定理。

当时这种逻辑严格到抠到了最细微的地方，比如说对数字的定义，数理学家就要搞清楚1、2、3、4、5这种数字的含义，比方说3是什么意思？弗雷格就给出定义，先要定义倍三性，倍三性是包含了三个对象的集合共有的抽象性质，比如说它可以用来描述三只猫这个集合或者三角形的边的集合，一个集合具有三个成员，当且仅当它在集合三里。这种概念对大部分人来说太拗口了，但是弗雷格他们当时就这样一个一个把概念弄清晰，重建数学大厦的。弗雷格有一本著作是关于数理逻辑的叫《算术的基本规律》，他用了很多时间来写这本书，这本书的问世也标志着数学大厦的根基已经建设完备，所有数学家又能安心使用所有证明了。

弗雷格

就在一切看起来蒸蒸日上的时候，英国逻辑学家罗素又站出来给数学一次毁灭性打击，罗素不是来捣乱的，他之前也是希望搭建数学基石的那些人之一，尽管他遵守了希尔伯特的那七条公理，但他还证明了数学中存在不相融性，当他自己意识到数学中存在矛盾的时候他自己都惊呆了。罗素回忆起自己那段时间的时候说：“刚开始我认为能够轻易解决这个问题，这可能是因为我推理的时候犯了个小错误引起的，但当工作逐渐清楚之后我发现事情并不是这样。1901年末的那段日子，我知道了欧洲夜莺有三种不同的叫声。那段时间我努力解决这些矛盾，每天早上我坐在一张白纸前，一整天除了吃短暂的一顿饭之外，我总是凝视着这张白纸，经常到夜幕降临的时候它仍然还是一张白纸。”另一头弗雷格顶着罗素的研究成果还是硬着头皮把《算术的基本规律》上下两册出版了，只不过他在下卷末尾写了一个后记，后记是这样写的：正当我的工作快完成的时候基础却崩塌了，科学家也许也不会遭遇到比这更不幸的事了，当这套书快印刷完的时候伯特兰罗素先生给我的一封信使我陷入的就是这样的困境。

其实说到这都还没有说究竟是什么导致了数学体系的不相融，让数理逻辑崩塌的就是弗雷格和希尔伯特研究最多的关于集合概念的定义。罗素之所以开始怀疑数理学家的工作是从一个很绕的想法生成的，那就是一个集合，有时候是他自身的一个成员，有时候又不是他自身的一个成员，所以换句话说就是他可能是也可能不是。比如说有一个理发师，他只给那些不给自己理发的人理发，那么他是否该给自己理发呢？如果他不给自己理发，按照逻辑那他就应该给自己理发，因为他属于从不给自己理发的人这个集合，而如果他给自己理发了，那他就不属于从不给自己理发的人这个集合了，他也就不能给自己理发了，所以到这里矛盾就出来了，集合一会是它自身的一个成员，一会又不是。之前提到过反证法，反证法就是通过推理得出悖论来证明命题的，这下集合出现矛盾了，这个问题就很严重了。反证法在逻辑上成立的前提就是数学中不存在悖论，那么现在集合概念上已经出现了悖论，所以所有的反证法都会失效。于是罗素就和希尔伯特一起找办法解决这个问题，比如说在之前七条公理上又增加了一条，就是任何类不能是自身的一个成员以避免罗素悖论。

罗素

罗素花了10年时间写了三卷《数学原理》，在后续20多年时间里，许多数学家把这套书当作完善数学大厦的指南。到了1930年刚退休的希尔伯特就相信数学已经在重建的路上了，一个逻辑相融的、可以回答每个问题的数学学科正在浮现。但就在差不多大功告成的时候，1931年一个25岁的小伙子永远毁灭了希尔伯特和罗素的美梦，这就是数学的第三次致命打击，这个少年的名字叫库尔特·哥德尔。1931年哥德尔发表了一篇论文叫做《数学原理及其相关系统中的形式不可判定命题》，论文详细阐述了不可判定性定理，证明了想要创建一个完全相融的数学体系是不可能的，证明过程非常复杂，这里只说结论。结论有两点，第一，如果公理集合是相融的，那么存在既不能证明也不能证伪的定理。第二，不存在能证明公理系统是相融的构造性过程。

第一条用通俗的话说就是不管用哪一套公理系统，总有数学家不能回答的问题，比如说有这么一句话：这个命题没有任何证明。这句话本身就有矛盾，如果这句话是假的，那说明这个命题是可以证明的，那就和这句话矛盾了，如果这句话是真的，那么又没法证明。第二条更严重，是说数学家永远不可能确定他们选择的公理不会导致矛盾。这两个结论就暗示了像费马大定理这样的定理最终有可能是对的，但是没有办法来证明它，也就是说经过了320多年后费马大定理有可能只是一个无法被证明的定理，数学家们卡在这上一卡又是10多年没进展，直到阿兰·图灵的出现。

图灵1938年目睹了哥德尔不可判定定理引发的混乱之后他就加入了设法补救数学大厦基石的工作，结果没搞两年二战就爆发了。1940年图灵就被调往了政府密码跟编码学校负责破译敌方密码，在这段时间里他还发明了图灵机。战后图灵去了曼彻斯特大学工作，继续研发更好的计算机。因为他参加的工作实在是太重要了，因此在战争结束后很多年里他仍然被英国情报部门监视，结果到了1952年他被发现是同性恋，在当时同性恋是非法的，他被强制去治疗所采取注射雌性激素来治疗性冲动。三年后图灵无法忍受这样的屈辱，在1954年6月10日自杀了。经过尸检后确认是氰化物中毒而死，在他的房间里有一瓶氰化钾溶液和半个吃剩的苹果，在当时化验人员没有化验苹果，于是传言就是图灵吃了泡有氰化钾的苹果进行自杀的。

阿兰·图灵

图灵去世了，但他给人类留下了计算机，人类也开始用计算机验证数学问题，比如黎曼猜想和费马大定理。那时候直接就套用真实值去进行验证，结果发现对N小于500以内的费马大定理都做了验证，无一例外都没有正整数解。到了20世纪80年代，数学家已经验证到了N在25000次方内都没有正整数解，时间再往后走被验证到了N小于400万次方都是没有正整数解的，但就算是验证到了N在10000亿次方也不能说明N在10001亿次方的时候定理也是成立的，因为N可以是无穷大的。这种悲剧曾经发生过，最开始数学家发现31、331、3331、33331、333331、3333331、33333331之类的数，就是个位数是1，前面全为3的数都是质数，那么是否这种序列排下去的数全都是是质数呢？后来发现333333331就不是一个质数，17是它的一个因数。这还算比较好验证的，碰到一些复杂情况比如说欧拉猜想，大神欧拉提出一个猜想就是x^4+y^4+z^4=w^4这个等式没有正整数解。这个猜想欧拉提出了200多年，但是一直到1988年哈佛大学的教授埃尔吉斯找到了一个反例，就是2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4，就这么一个反例就可以否定掉整个猜想。这200年时间里无数数学家前仆后继去研究欧拉猜想，但实际上他们都不知道这个猜想是不成立的，这是数学家的悲剧。

这里还有一个反例，这就是高估质数猜想。比如说1到100之间一共存在25个质数，而1000万到1000万零100之间虽然也隔了100个数字，但是这中间就只有2个质数，所以从质数分布趋势来看是越来越稀疏的。高斯当时就预言质数在数轴分布上密度衰减的公式，这个公式在很广的范围内都是比较适用的，只是这个公式的结果总是有一点点高于真正的分布密度，所以才说是比较适用。到后来数学家就对10亿以内甚至1万亿以内的数字都进行了高斯的密度预测公式测试，发现预测公式的结果总是比实际结果稍微高一点，人们就想预测公式是否总是如此呢？这个猜想就是高估质数猜想了。这个猜想直到1914年李特尔伍德成功证明了在数字足够大的时候高斯公式非但不会高估反而还会低估密度。虽然证明出来了，但数学家还是用计算机去算，直到1955年显示出一个结果，虽然即使到1万亿情况还是存在，但到了10的35次方之后就发生低估了，这个数是一个天文数字级的。像这种猜想在天文数字级别才会发生改变，所以数学家想拼命证明费马大定理说不定也只是徒劳。万一在10的50多次方之后出现了整数解怎么办呢？

这时候整个故事的核心人物出现了，他就是安德鲁怀尔斯。怀尔斯在1975年进入剑桥大学读硕士后就被其他人推荐到了约翰·克茨手下，当时怀尔斯就跟导师说自己要解决费马大定理吓了导师一跳。怀尔斯在10岁的时候在镇上图书馆第一次看到费马大定理后就一直想把它证明出来，不过等到了剑桥大学之后他才知道目前数学家掌握的用来尝试解决费马大定理的工具都已经用了130多年了，这些工具都没法触及问题的本身，而且怀尔斯知道就算证明了这个定理也不会在证明过程中产生新的更有价值的数学知识。克茨教授推荐怀尔斯去一个叫椭圆曲线的领域，这个领域相比其他方面更容易出研究成果。当时椭圆曲线这个领域好像跟数论没啥关系，但最后正好就是这个领域对怀尔斯证明费马大定理的帮助最大。

这里说一下椭圆曲线，它的表达式是y^2=x^3+ax^2+bx+c，其中ABC都是整数。它其实并不是一个椭圆，之所以叫椭圆曲线是因为早期类似的方程被用来度量行星的轨道。研究椭圆曲线的目的就是要算出它们是否有整数解，如果有那就要算出有多少个解。最早研究椭圆曲线还是能追溯到古希腊时期，丢番图的《算术》中有很大篇幅都是在讨论它，后来费马研究最多的也是椭圆方程，而怀尔斯在1976年研究的椭圆曲线工作很多都能追溯到费马那里。

椭圆曲线

研究椭圆曲线方程有多少整数解这个问题难度很大，比如说x^3-x^2=y^2+y这个方程最显而易见的结果就是x和y都等于0的时候成立，这是一组解，而x=1，y=0也是它的一组解。看上去这很简单，但实际上它还有可能有其他的解，也许有无穷多个解，那要如何去验证呢？数学家们想到一个办法就是用时钟算术。我们平时的传统算术都是在数轴上进行的，数轴往右就是变大往左就是变小，而时钟算术就像钟表的盘面，把1到12连成一个圆，这样12后面就是1了，这样整个圆环就是一个数轴，当然了，时钟算术里的数有多少都是可以的，这样所有的计算都在这个圆形的轴上进行。数学家利用这样的方法进行运算甚至是解方程，比如说前面x^3-x^2=y^2+y这个方程在5格的时钟里有4个解，怀尔斯用E5=4表示在5格时钟里有4个解这个结论，同样的，在7格时钟里有9个解于是就表示成E7=9，采用这种方式表达椭圆方程解的个数叫做E序列，对于之前这个方程来说就是E1=1，E2=4，E3=4，E4=8，E5=4，E6=16，E7=9，E8=16这样一个结果。

就在怀尔斯用这些工具攻克费马大定理的时候，在地球的另一端日本也有两个人在研究着费马大定理，其中一个叫志村五郎。1954年1月，当时在读大学的志村五郎在研究的问题遇到障碍了，于是他就去图书馆找资料，他找的是数学年刊第24卷，结果这卷书刚好被别人借走了，没办法，他就只好去找管理员查是谁借走了这本书，发现是学校里一个叫谷山丰的人借去了。志村五郎赶紧就给谷山丰写信说自己正在解决一个什么问题，急需要这本书做参考，问问对方什么时候会把这本书还回来。几天之后他收到了谷山丰的回信，谷山丰说自己也在研究同样的问题，也是卡在同一个地方进行不下去了，不如见个面聊一下吧。等两个人见面之后发现他俩只相差三岁，都卡在同一个问题的同一个地方，这看上去就是冥冥之中注定的。不过两个人的性格是完全相反的，志村五郎是那种很中规中矩的人，每天生活就是按部就班，而谷山丰则是那种一旦认真起来饭也不吃觉也不睡，然而第二天一觉睡到下午的人，在穿着上谷山丰也是喜欢穿那种比较金闪闪的衣服。

年轻时的志村五郎

二战后的日本很萧条，也没人想专心搞学术研究，毕竟日本天皇都投降了，很多家庭都家破人亡了。当时谷山丰和志村五郎就想老师既然不认真教书那我们自己学呗，于是就定期参加学生研讨会，当时的学生也没什么渠道可以获得国外同行的研究成果，所以他们进行的不少研究都是别人已经走过的死路。后来谷山丰和志村五郎迷上了一个叫模形式论的东西，这东西里可以简单理解成是一种运算，对于研究数论的人来说一共有五种基本运算即加减乘除和模形式。模形式的关键就是它拥有非同寻常的对称性，多数人对对称这个概念肯定很熟悉，但是在数学领域里是有特殊意义的。在数学中对称是指某一个对象可以按照指定的方式做一个数学变换，经过变换之后它看上去没有变化那么就把它称之为具有对称性。比如说经过一个正方形的中心画一个十字，就变成了类似田地的田字，这时候把正方形旋转四分之一圈或者四分之三圈之后正方形看上去并没有变化，这个就叫旋转对称性。如果在正方形中线放一面镜子，这样看上去正方形也没任何变化，这就叫做反射对称性。还有一种对称性叫平移对称性，不过这个正方形就没有了，比如说正方形在中间十字线上移动就跟原来的图形不一样了。现在抛开刚才的正方形，假如组成的对象是一个无穷集合的正方形，那么在十字线上把正方形移动整格的倍数，那么我们是察觉不出来这个无穷集合正方形是有进行过平移的，所以无穷集合的正方形具有平移对称性。刚说的模形式的对称就是指它呈现出了无限的对称性，不过要想画一个模形式出来是不可能的，像一个二维的正方形它只会沿X轴和Y轴移动，而模形式虽然也是沿两根轴移动，不过这两根轴是复数，每根轴是由一个实数部分和一个虚数部分组成，实数和虚数部分又是正交的，所以实际上它是一个四维空间的东西，严格来说这个四维空间叫做双曲空间。对于生活在三维空间的普通人来说要理解双曲空间是非常难的，不过还是有办法画出四维空间中图形在三维空间中的投影的，再把投影拍成照片就可以把它映射到二维空间中了。

双曲空间

在双曲空间里的模形式的规模和形状是各式各样的，但是每一种样子都是由一些基本的要素构造出来的。如果模形式的要素从一开始进行编号，像M1、M2、M3这样排下去，一个模形式可能包含一个1号要素那我们就表示成M1=1，如果模形式包含4个3号要素那我们就表示成M3=4这样。这时候可以发现如果把M变成E，那就和之前椭圆曲线方程的解用时钟数轴来表示E序列是一样的，当时志村五郎和谷山丰就发现了这样的规律，从此故事进入了一个新的纪元。