你绝对想不到！数学家们竟会因他大动干戈

微积分是什么

微积分的发展

表弟：“表哥，什么是微积分？今天老子竟栽在了他手里！”

超模君：“这简单！微积分主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。”

表弟：“算了，你跟我说说它的故事吧，兴许还能更理解。”

超模君：“好嘞，坐稳！带你飞咯。”

   休闲踏上征途中   

其实，微积分的基本思想是局部求近似，极限求精确。

 

从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是微积分的思想在古代就已经产生了。

公元前7世纪，泰勒斯对球的面积、 体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。

公元前3世纪，阿基米德在解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积和旋转双曲线所得的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。

中国自然也不甘落后！

中国古代数学家也产生过微积分的萌芽思想。

例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想等等。

而微积分的思想真正地迅速发展和成熟的时期是在16世纪以后。

   征途慢慢加速中   

16世纪，欧洲的文艺复兴达到了顶峰，带来一段科学革命时期：一方面社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅速发展，而另一方面，社会需求的急剧增加，给科学研究带来了更大的问题。

这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。

这时，以常量为主要研究对象的古典数学显然是不能满足要求的了，于是，科学家们只好把主要研究对象转移到变量上来。

到了17世纪上半叶，几乎所有的科学家都致力于解决速率，切线，函数最值，曲线长，曲线围成的面积、曲面围成的体积等问题。

一系列的先驱性工作，沿着不同的方向逼近微积分的大门！

令人遗憾的是，没有人把他们的成果联系归纳，作出一条规律明确提出来，且作为微积分基础特征的微分和积分的互逆关系也没能引起足够重视。

于是，在更高的高度把以往个别的贡献和努力综合在一起，得出理论，就成了17世纪下半叶数学家所要面临的问题。

那么谁来打开这扇门呢?

   征途火力全开中   

17世纪下半叶，在前人的贡献基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独自研究和完成了微积分的创立工作。

他们的最大功绩是：

1.把两个看起来毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

2.有明确的计算步骤。

3.微分法与积分法互为逆运算。

1665年11月，牛顿发明“正流数术”（微分），次年5月又发明反流数术。

1666年10月，牛顿将流数术总结一起，并写出了《流数简述》，这标志着微积分的诞生。

1671年，牛顿写了《流数法和无穷级数》，指出：变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。

牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

 

1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法》，它已含有现代的微分符号和基本微分法则，被认为是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。

 

1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，这初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。

微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多令人头痛的问题，现在使用微积分，都轻轻松松地解决掉了，显示出了微积分的超常威力。

   征途中遇到“妖怪”！   

但任何一项重大理论的完成都是不会那么顺利的，在起初都会引起一部分人极力质疑的，微积分学同样也是。

 

在微积分创立之初，微积分的基础问题就一直受到一些人的质疑和攻击。

荷兰数学家妞纹蒂曾在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼兹的高阶微分“缺乏根据”等。

其中最著名的是1734年，英国主教贝克莱的攻击。

当时，他写文章去攻击流数（导数），并明确指出牛顿论证的逻辑问题，为那个无穷小量的莫名消失而质疑，进一步展开了对微积分学的进攻，由此第二次数学危机便拉开了序幕。

针对牛顿的求导过程，他说：“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”

事情是这样的。

牛顿在《求积术》一文中使用论证得出了y=x^n的导数是nx^(n-1),这个方法和结果在实际应用中非常成功，大大推进了科学技术的发展。

通过对增加一个微小的非零增量的方式求它的导数：

到这一步为止，依然被假设为一个非零的量。

但是，随后，忽然变成了0，所以才能得到

。

 

然而，牛顿的论证其实是有严重纰漏的：在增量无穷小的情况下，牛顿直接令其等于零从而解决问题。

但是，一个无穷小的量真的等于零吗？

在贝克莱看来，这一过程中的前后两个假设完全冲突。

若不为0，那么则不能推出任何结果；

若为0，那么它就不能作为分母且根本没有增加。

牛顿对它曾作过三种不同解释，但他始终无法解决上述矛盾。

1669年说它是一种常量。

1671年又说它是一个趋于零的变量。

1676年，它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。

 

显然，牛顿时代对于极限这一问题研究尚不够深入，使得增量时有时无的逻辑问题显得尤为严重。

 

   与“妖怪”斗争中   

1742年，马克劳林完成了《流数论》，目的就是反驳贝克莱对牛顿的流数术的攻击，它从若干“无例外的原则”去推演流数理论，为分析形式化的前驱。

1754年，法国数学家达朗贝尔则提出把极限理论作为分析的基础，并为极限做出了很好的定义。

可惜的是，当时他没有把这种理论公式化。

波义尔做出这样的评价：达朗贝尔没有摆脱传统的几何方法的影响，不可能把极限用严格形式阐述。

但他是当时几乎唯一一位把微分看成是函数极限的数学家。

1797年，法国数学家拉格朗日对严格化问题也开始注意了，他肯定了在极限基础上建立微积分。

但当时极限的概念还不明确，他回避了极限，试图把微积分建立在泰勒展式的基础上，并从函数幂级数展开式中的系数定义出了各阶导数。

后来，人们发现这只适用于一部分函数。

整个18世纪，几乎每一个数学家都在为微积分找出合乎逻辑的理论基础而努力着，但所有的努力并没有得到一个圆满的结局。

 

   努力扳回一局中！   

直到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。

首先是波尔查诺，他开始将严格的论证引入到微积分中。

1816年，波尔查在证明二项展开公式时，明确提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了更深的理解，合适地定义了导数等概念。 

但是当时级数收敛概念并没有得到公认，从而引出了许多所谓的“悖论”。

为了改变这种局面，阿贝尔指出了严格限制滥用级数展开及求和；

 

在1821～1823年间，柯西出版了《分析教程》和《无穷小计算讲义》，这些书中都精确地定义了数学分析一系列基本概念。

例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性。

这使微积分中的这些基本概念建立在较坚实的基础上。

   征途进攻中   

在严格化证明微积分的潮流中，魏尔斯特拉斯总结前人的经验，引出了如今通用的极限的ε-δ定义。

1842年，魏尔斯特拉斯引进了一致收敛概念，并严格证明了函数项级数的逐项微分和逐项积分定理。

1872年，魏尔斯特拉斯构造了一个处处连续但处处不可微函数的函数，让人们意识到了连续性与可微性的差异。

此外，他把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

1872年，德国数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起了无理数理论。

在同一年，魏尔斯特拉斯和康托尔都从有理数的角度去定义了无理数，建立了实数理论。

在实数理论基础上，他们建立起极限论的基本定理，从而使微积分终于建立在实数理论的严格基础上了。

魏尔斯特拉斯是通过有界单调序列理论。

而康托尔是通过有理数序列理论

至此，第二次数学危机才宣告基本结束。

表弟：“真刺激！表哥，我得好好去学微积分了。”