斐波那契数列-大自然的密码

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是什么?

斐波那契数列是指这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55…数列中的每1项称为斐波那契数，从第3项开始，每1项都等于前2项之和。

在数学上，斐波那契数列被以递归的方法定义：F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>2,n∈N*).

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特别么?

斐波那契数列看似简单、平淡无奇，但它与杨辉三角、黄金分割率和黄金矩形等数学知识、植物生长等自然现象有着非常微妙的联系，让人不得不惊叹自然的神奇造化。

▲图1：杨辉三角

▲图2：黄金分割率

▲图3：黄金矩形、黄金螺旋线

▲图4：花瓣的个数、松果和向日葵的螺旋数

▲图5：树木分叉数

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从哪来?

音乐或诗歌与数学之间的联系并非只是一种抽象的联系。

不可思议的数学曾被印度的一些自认为是诗人(或语言学家)而非数学家的古代学者所发现。

印度语言学家平噶拉(300-200B.C.)在研究诗歌韵律时就构造出了这样一个序列：首先写出1和2，后1个数等于前2个数的和，即得1、2、3、5、8、13、21、34、55…

另一位印度语言学家罗摩古陀罗(1088-1173)首先证明了这些数的生成方法(大约1150年)，所以这些数以他的名字命名，以罗摩古陀罗数而著称。

▲图6：罗摩古陀罗

而在西方这些数以斐波那契数而闻名，因意大利比萨数学家列昂纳多·斐波那契而得名。

斐波那契在其著作《算经》中提出的兔子繁殖问题引出了这些数。

后人发现这些数可构成数列：Fn=Fn-1+Fn-2，为了纪念斐波那契的贡献，将该数列命名为斐波那契数列。

▲图7：斐波那契和《算经》中描述数列的一页

斐波那契早年跟随父亲在北非一带做生意(今阿尔及利亚Bejaia)有感使用阿拉伯数字比罗马数字更有效，就前往地中海一带向当时著名的阿拉伯数学家学习。

兔子繁殖问题也许是斐波那契从阿拉伯人口中得知的，他可能不是斐波那契数的发明人，但的确是他，把这问题推广并普及。

斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，他在《算经》中系统介绍印度记数法，最终使印度—阿拉伯数字系统在欧洲推广，推动了欧洲数学的发展。

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有用么?

在现代物理、计算机、金融和艺术等领域，斐波那契数列都有直接的应用。

为此，美国数学会从1963年起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。

▲图8：利用斐波那契数列设计出的高效“太阳能树”

▲图9：波浪理论的数学基础：斐波那契数列

▲图10：运用斐波那契数列进行创作的名画、苹果logo

参考资料:[1] 吴振奎.斐波那契数列欣赏[M].哈尔滨:工业大学出版社,2012

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