冲刺2019年高考数学, 典型例题分析48：与等比数列有关的求和

​已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3/4，S_n=S_n﹣1+a_n﹣1+1/2（n∈N^*且n≥2），数列{b_n}满足：b₁=﹣37/4，且3b_n﹣b_n﹣1=n+1（n∈N^*且n≥2）．

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求证：数列{b_n﹣a_n}为等比数列；

（Ⅲ）求数列{b_n}的前n项和的最小值．

考点分析：

数列的求和；等比数列的通项公式．

题干分析：

（Ⅰ）由a_n=S_n﹣S_n﹣1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（Ⅱ）求得b_n，及b_n﹣a_n，b_n﹣1﹣a_n﹣1，再由等比数列的定义，即可得证；

（Ⅲ）运用等比数列的通项公式，求得b_n，判断b_n﹣b_n﹣1的符号，可得{b_n}是递增数列，求出b₁，b₂，b₃，即可得到所求和的最小值．

解题反思：

数列的考查历来是高考数学的重点内容之一，在解题中较为关注公式的灵活、合理、正确的运用。等比数列的求和问题在高考数列题中较为常见，但在实际教学中解法较为固定单一，其解法过程繁琐，化简过程极易出错，故在高考环境中易造成失分。

等比数列{an}的前几项求和公式通常是这样得到的：将Sn乘以公比q，与原Sn作差，通过错项相消即可。