【原】用“普西函数”求ζ(2n)和ε(2n+1)

一、ζ(z)和ε(z)：

（1）ζ(z)=∑(n=1…∞)n^-z.     （ReZ＞1）

（2）ε(z)=∑(n=1…∞)(-1)^n-1(2n-1)^-z.    （ReZ＞0）

 

二、普西函数Ψ(z)：

（1）定义：Ψ(z)=Γ'(z)/Γ(z)

（2）余元公式：Ψ(z)-Ψ(1-z)=-πcot(πz)

 

三、有关幂级数：

（1）Ψ(z+1/4)=-γ-3ln2-π/2-∑(n=2…∞)[(2ⁿ-1)ζ(n)+2ⁿε(n)](-2z)^n-1.   

（2）Ψ(z+3/4)=-γ-3ln2+π/2-∑(n=2…∞)[(2ⁿ-1)ζ(n)-2ⁿε(n)](-2z)^n-1.  

（3）tan(z)=∑(n=1…∞)[2²ⁿ(2²ⁿ-1)Bn/(2n)!]z^2n-1

（4）1/cos(z) =∑(n=0…∞)[En/(2n)!]z²ⁿ

 

四、统一求法：

（1）Ψ(1/4+z/2)-Ψ(3/4-z/2)=-π+2∑(n=1…∞)(2²ⁿ-1)ζ(2n)z^2n-1

                                                               -4∑(n=1…∞)2ⁿε(2n+1)z²ⁿ

（2）-π*cot(π/4+πz/2)=π*tan(πz)-π/cos(πz)

（3）由余元公式恒等即得：

         ζ(2n)=(1/2)(2π)²ⁿBn/(2n)!=(1/2)(2π)²ⁿ(-1)^n-1B2n(0)/(2n)!

        ε(2n+1)=(1/2)(π/2)²ⁿ⁺¹En/(2n)! =(1/4)(π)²ⁿ⁺¹(-1)ⁿE2n(1/2)/(2n)!