(一)-1 (1)Γ(z)η(z)=∫(0,∞)tz-1[1/(et+1)-1/2]dt (2)Γ(z)n-z=∫(0,∞)tz-1(e-nt-1)dt(n>0) (3)Γ(z)(N+1/2)-z=∫(0,∞)tz-1[e-(N+1/2)t-1]dt (4)由(2)得: Γ(z)Σ(n=1…N)(-1)n-1n-z=∫(0,∞)tz-1{[1-(-1)Ne-Nt)/(et+1)-[1-(-1)N]/2]dt (5)由(4)+A0(-1)N×(3)取极限(N→∞)并与(1)恒等得:(A0=1/2) η(z)=(N→∞)[Σ(n=1…N)(-1)n-1n-z-(1/2)(-1)N(N+1/2)-z] (6)η(0)=1/2、 η(-1)=1/4
(二)-2
(三)-3 (1)Γ(z)η(z)=∫(0,∞)tz-1[1/(et+1)-1/2+(1/4)t]dt (2)Γ(z)n-z=∫(0,∞)tz-1[e-nt-1+nt-(1/2)(nt)2]dt(n>0) (3)Γ(z)(N+1/2)-z=∫(0,∞)tz-1[e-(N+1/2)t-1+(N+1/2)t-(1/2)(N+1/2)2t2]dt (4)Γ(z+2)(N+1/2)-z=∫(0,∞)tz-1[e-(N+1/2)t-1]dt (5)由(2)得: Γ(z)Σ(n=1…N)(-1)n-1n-z= ∫(0,∞)tz-1{[1-(-1)Ne-Nt]/(et+1)-[1-(-1)N]/2+(1/2)[1/2-(-1)N(N+1/2)]-(1/4)[1/4-(N+1/2)2](-1)Nt2}dt (6)由(5)+(1/2)(-1)N×(3)+A1(-1)N×(4)取极限(N→∞)并与(1)恒等得:(A1=-1/16) η(z)=(N→∞)[Σ(n=1…N)(-1)n-1n-z+(1/2)(-1)N(N+1/2)-z-(1/16)(N+1/2)z(z+1)(N+1/2)-(z+2)] (7)η(-2)=0、 η(-3)=-1/8
(四)-4
(五)……依此类推。 |
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