如何证明广场上总存在一个没被人盯着的间谍？

深夜必读！

题目

推理

1、下一个图形是什么？

 
2、小 A 和小 B 玩游戏。小 A 取出一副扑克牌并去掉大小王，剩下红色的牌和黑色的牌各 26 张。

洗好牌后，小 A 依次翻开每一张牌，让小 B 看到牌的颜色。小 B 可以在任意时刻打断小 A ，并打赌“下一张牌是红色”。

如果下一张牌真是红色，小 A 给小 B 一块钱；如果下一张牌是黑色的，小 B 输给小 A 一块钱。

注意，小 B 必须要在某个时刻下赌注，并且机会只有一次；如果他一直没打断小 A ，则默认他赌最后一张牌是红色。

小 B 的最佳策略是什么？在这种策略下，他有多大的概率获胜？

计算
3、一张长 10 厘米、宽 9 厘米的长方形纸张可以裁剪成两个宽 1 厘米的、一模一样的螺旋形纸带。那么，每个螺旋形纸带的周长是多少厘米？

 
4、广场上站着 99 个间谍，间谍与间谍之间的距离互不相等。每个间谍都盯着离自己最近的那个间谍看。

证明：总存在一个没被人盯着的间谍。

填图
5、24 根火柴棒摆成了如图所示的形状。这些火柴棒组成了大大小小一共 14 个正方形。

请您：

(1) 去掉两根火柴棒，使得图中只剩下 7 个正方形
(2) 去掉三根火柴棒，使得图中只剩下 4 个正方形
(3) 去掉四根火柴棒，使得图中只剩下 2 个正方形

 
6、像左图中的示例那样，只用两种不同长度的线段，把图中的 14 个点两个两个一对地连接起来。

答案

推理

1、答案：

这些图形分别是字母 A 到 J 的“轮廓”——假设我们在从 A 到 J 的每个字母外面拉上一圈橡皮筋，松手之后橡皮筋就依次变成了图中的这些形状。

 
2、答案：

乍看上去，小B似乎有很多方法能保证他的获胜概率大于 50% 。比方说，他可以等到黑牌都翻完了时赌下一张牌是红色。

不过别忘了，黑牌先翻完不是总能发生的。如果红色的牌先翻完，他就必输无疑了。

因此，采取这种策略并不会增加小 B 获胜的概率。

事实上，这是一个完全公平的游戏，小 B 没有所谓的“最佳策略”。

小 B 的任何一种策略效果都完全一样—— 50% 的概率获胜， 50% 的概率输掉。

为了证明这一点，让我们来考虑这场赌博游戏的一个修改版：

小 A 把牌一张一张地翻开，小 B 可以在任何时候打断小 A ，并赌最后一张牌是红色。

显然，在剩下的牌里面，第一张是红色与最后一张是红色的概率完全相同。

因此，把原游戏中的策略应用到新的游戏中来，获胜的概率不变。

但很容易看出，新规则下的游戏是一个非常无聊的游戏，因为不管小 B 用什么策略，获胜的概率总是 50% ——最后一张牌是红色，小 B 就赢；最后一张牌是黑色，小 B 就输。

计算

3、答案： 92 厘米。

我们可以用剪拼法把纸带的拐角“扳直”，并且保持它的周长和面积不变。

这样的话，整个螺旋形纸带就可以看作是一个宽为 1 厘米的长条形纸带。

既然整个长方形的面积是 90 平方厘米，那么其中一个纸带的面积就是 45 平方厘米，因而它的周长就是 (45+1)×2=92 厘米。

 
4、答案：

考虑距离最近的两个间谍，显然他们俩正互相盯着。

如果还有别人盯着他们俩中的任何一个，就表明有人同时被两个人盯着，因此必然存在另一个人没被人盯着；如果没有别人在盯这两个人，那么我们就可以去掉这两个人，这对其他人不会产生任何影响。

注意到广场上的总人数是个奇数，因此如此继续下去，要么我们能在某一步找到一个没被盯着的人，要么最终就只剩下一个人，而他显然没有被任何人盯着。

 
填图

5、答案：

 

    

 

（答案不唯一）

 
6、答案：

本文由超级数学建模编辑整理

资料来源于

http://www./blog/archives/3549

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