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上一讲我们聊到了巴格拉斯效果概率计算的相关问题，并指出这里应用对称性的核心方法：剔除对求解无用的对称变量。相关内容请戳： 对称思维的妙用之从解题到本质（一）——巴格拉斯效果发生的概率 接着我们来看下一个问题，看看透过对它的思考，又能总结出怎样的数学规律来： 斗地主中有人抓到王炸的概率 问题描述如下：一副扑克54张，等分成三份，两张王在同一个人手中的概率是多大？ 按照上一个问题的解法，首先我们先具化这个随机过程，假设这个等分是从完全随机均匀分布的序列上依序切下长度为18的a，b，c3份。那么，按照我们分类相加，分步相乘的思路，两张王可以在a，b，c三份中的任意一份。选择一份为C(3, 1)，其实是以乘法作为了相同加数的加法的简便运算，因为对称相同而在分子处合并是对称原理“剔除对结果无用的对称变量”的扩展应用，只不过这里不是剔除而是等价合并，我们称之为对立对称分类的简化相乘。剩下的则用均匀分布（古典概型）公式，继续通过分步相乘的方案去算分子分母的组合数。三叠牌按组合一共有C(54, 18) * C(36, 18)种分拆方式，而选择的那一叠含有2个Joker以后的组合方式数为C(52, 16) * C(36, 18)，即： p = C(3, 1) * (C(52, 16) * C(36, 18)) / (C(54, 18) * C(36, 18)) = 17 / 53 当然，你把这里全部改成排列数也可以，答案不会变，不过是比这里组合数更细粒度的建模，自然的原因就是相应的分子分布会全部约分约掉；有人在分子分母上还各自乘了一个C(18, 18)或A(18, 18)，虽然会约掉，且本身等于1，对结果没有影响，但表明的是对整个随机过程完整的拆解，是有物理意义的。 然而数学的思考者绝不满足于此，最后的结论竟然这么简单，而且，中间约分的过程会让我思考，是不是中间很多部分的运算本身就是多余的？会不会有更好地对题意的建模方式，能够更直接地得到问题的答案？ 既然中间有几项根据四则运算性质约分约掉了，那背后自然就有压根就不用算他们的理由，不妨就从这里打开思路重新想想这个问题。比如我们是不是直接可以考虑不需要写C(36, 18)这一项，因为我们对选择完关心的含有Joker的那一叠以外的排列组合根本不关心： p = C(3, 1) * C(52, 16) / C(54, 18) = 17 / 53 这是上一个“剔除对结果无用的变量”的应用，不过这倒是还好，反正最后也约掉了。 再进一步分析，两个Joker本质上是特定，有序的两张牌，一个含有2张Joker的牌叠的前提条件是，至少得含有其中一个吧？比如，我们可不可以就只关心含有大王的那个牌叠呢？ 当然可以，当牌叠序列排好后，找到大王，无论在a，b，c的哪一叠中，无所谓，但有所谓的是，只有这一叠牌，才有资格去判断是否含有两个Joker，其他两叠直接就不用考虑了，因为含有大王是含有两个王的必要条件！ 那接下来问题就再简单不过了，假设大王在x叠中，本叠还剩余17张，整叠除了大王还有53张，那么特定的小王落在这17张中的概率不就是17 / 53么？ 如果说，数学在一些点上比物理更有智慧，我觉得就在这些除了对客观过程实实在在地建模，描述以外，还有的，就是超出其直接过程的视角。这个例子就说明了这个问题，就像我们学牛顿三定律去解决问题的时候，面对过程的繁琐需要大量的计算功夫。但是，总结出机械能守恒定律，动能定理以后，一切就烟消云散了。 还有点值得注意，我们为本身显然的物理过程做视角转化的时候，也经常容易改变本身的性质，因此，做这些改变的时候一定要小心，到底有没有破坏原来的题意？这个也是在培养数学感觉过程中，十分重要的一个要素。比如，在本题中，我们丝毫没有改变这三个牌叠产生的物理过程，只是就我们需要完成的解答给出了相应的视角上的转变： a. 我只去关心包含大王的牌叠； b. 我只去关心包含大王的牌叠内出现小王与否的情况； 由此，才能够重构整个随机过程为： step1：先选大王的位置，以确定可能有双王的牌叠； step2：选小王的位置； step3：选其他牌的位置； 其中第3步还由于不影响结果直接略去没算了。而把一个随机排列的生成过程重构成这个样子并不改变这个随机排列的随机性，选牌的随机和位置的随机只要其中一个是均匀分布的，排列就是均匀分布的，计算出来每个排列的概率都是1 / A(54, 54)。实际上，这个问题最细粒度的建模应当是随机排列加上随机排列选择3次，每次17张不放回的过程，我们把第二步直接变成取三段的固定过程已经作了化简，这就好比真的三个人斗地主，只要牌洗得足够乱，完全没必要一人摸一张这样系统抽样来选牌，只是洗3那么几次实在是太不乱了而已。 而这里我们只关心的随机排列行程中，选牌的顺序变化，或者安排位置顺序的变化只是改变了相乘变量的顺序而已，但是乘法恰巧在这里具有交换律，表明了这个相等的结构。而最关键的是，这个重构，是最有利于我们问题的解决的，就可以随意使用。 注意几点，一是这里说的某个观察角度，指的是我们对其建立的数学模型。比如，我们对一个抽象的只有一面的正方形的模型，其实就是四个顶点或边的集合，而不是排列，每个顶点或边，也仅仅关心其平面内的坐标位置；如果我们认为这个正方形是有两面的，那么每个顶点还多了一个正反面的布尔状态量。这虽然有些抽象，但是这却是我们真的观察对象时候的做法，比如地板砖就是不能翻面的，另一面不光滑，而有些玻璃是不区分正反面的，如果是正方形，也可以随意旋转和翻面来安装。另一个是，不动点关系和对称关系其实恰好是一对逆关系，只不过说对称性的时候更多地强调操作f以及其内部结果，用群论来描述，而不动点则强调同一个f下，有多少x以及他们的结构。比如单面正方形的f操作旋转90度，可以复合生成出一个C4群，而函数xy = 1则有两个不动点。 当然，优秀的对称式地寻找问题过程的方法也不止这一种，我们还可以从大小王在哪的角度来想，因为其他的牌的排列组合本就不关心。就很容易列出：C(3, 1) * C(18, 2) / C(54, 2)，这么做，离最佳答案也就只有一步之遥了。 写到这里，有人真的要憋不住了，斗地主明明每个人就抓17张牌，不是还有3张底牌吗？嗯嗯，如果考虑到这个，底牌还没有王的情况下，把上面的18参数统统减一变成17即可。但是如果底牌有王就会变得稍微复杂，若不考虑底牌补上的情况，那就是少量排除几个解而已；抄起底牌后的情况，如果等可能地有人拿到这3张牌，那用组合公式依然简单。但实际会涉及到谁能够有机会并且愿意抄起底牌，有一张王叫地主意愿变化的问题，这就难以估计了。没错，这些都是真实世界模型的复杂之处，这里作为讨论对称性的系列就暂时不深究了，如果你算好了，欢迎告诉我答案。 加上上一篇的巴格拉斯效果成功的概率，通过这两个问题的细致剖析，不知道你有没有自己总结出对称在这些问题上的妙用逻辑呢？在下一篇揭晓答案之前，不妨你先自己想一想，下篇见！
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