|
函数是高中数学的重要内容，也与我们的生活息息相关。我们研究函数最直观的方法，是通过函数的图像。学习导数后，我们对函数的认识又提升了一个层次，也为我们研究函数提供了一种不一样的方法。 今天，我们就说说导数在函数图像中的作用。  我们都知道 生活中我们无论做什么事情 追求的 永远是最值 好的东西 总想要的最多、最大 坏的东西 总想要的最少、最小 数学服务于生活 所以最值 也是我们研究函数最终的目标 而单调性 是研究最值的 必要途径  单 调 性  从上面的动图不难看出： 在单调增区间内，以图像上任意一点为切点的切线斜率均为正数，也即导数值为正。 从下面的动图不难看出： 在单调减区间内，以图像上任意一点为切点的切线斜率均为负数，也即导数值为负。  导数正负与单调性关系  从充要条件看导数正负与单调性关系  经典错解 
正确解法 CORRECT
从充要条件看导数正负与单调性关系 此题再一次提醒我们，在处理函数问题时，一定要注意定义域，注意定义域，定义域 单调性再研究 相同的单调性，从图像上看还是有区别的，有上凸、下凹和直线型三种类型。其实，这三种不同形式反映的，是随着自变量的变化，函数值改变的速度快慢的不同。 上凸反映的是先快后慢 下凹反映的是先慢后快 直线反映的当然就是匀速了 那么，在已知函数单调性的情况下，又该如何刻画函数的这些不同变化形式呢？ 看动图，知凹凸 看切线快慢变化，感知凹凸成因 其实，从动图中我们也不难看出： 在上凸的区间内，随着切点横坐标的增大，切线的斜率越来越小； 在下凹的区间内，随着切点横坐标的增大，切线的斜率越来越大。 由于切线斜率是函数在切点处的导数，所以： 下凹的曲线弧，导函数是单调递增的， 上凸的曲线弧，导函数是单调递减的。 由此可见，函数图像的凹凸性，可以用导函数f'(x)的单调性来描述，而 f'(x)的单调性又可以用它的导数，也就是函数 f(x)的二阶导数 f''(x)来确定. 于是，我们就有了下面的结论： 但其实，关于曲线的凹凸性，原始定义这样的： 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的。 曲线凹凸性定义 从凹凸到拐点 首先，纠正一下惯性思维。 很多同学听到拐点，就理所当然的认为是曲线形状的拐弯点，也就是曲线单调区间的临界点。 其实不然，这里的拐点，是这样定义的： 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫做函数的拐点。
文字很枯燥，例子最可靠
|
|
|
