two day｜小升初数学（奥数）知识点汇总（1）

今天的内容比较有层次一些，在小升初数学这一学科，我们要做的是让学生有板块，有章法的去掌握，逐一的去落实。先上基础知识巩固，后续会有相关试卷出来。

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一、质数、倍数、倍数、约数、整除问题

1、质数（素数）

① 只有1和它本身两个约数的整数称为质数；

② 100以内质数共25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97；

③ 最小的偶合数是4，最小的奇合数是9；

④ 0、1既不是质数也不是合数。

⑤ 每一个合数分解质因数形式是唯一的。

⑥ 公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

2、倍数、约数性质

① 一个数最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数；

② “0”没有约数和倍数，一般认为“1”只有约数“1”；

③ 假如几个数都是某一个数的倍数，那么这几个数的组合也是某个数的倍数。

例如：26、39是13的倍数，则2639也是13的倍数。

④ 一般的数字的约数的个数都是偶数个，但是平方数的约数个数是奇数个。

例如：“9”有3个约数（1、3、9），“16”有5个约数（1、二、4、8、16）。

⑤ 约数和倍数必须强调出是哪个数字的约数和倍数。

⑥ 一个数既是它本身的倍数又是它本身的约数。

⑦ 一个数如果有偶约数，则这个数必为偶数。

3、整除性质

① 能被“2”整除的数的特点：末尾数字是“0、2、4、6、8”；

② 能被“3（9）”整除的数的特点：各位上数字和能被“3（9）”整除；

③ 能被“4（25）”整除的数的特点：末尾两位能被“4（25）”整除；

④ 能被“5”整除的数的特点：末尾数字是“0或5”；

⑤ 能被“8（125）”整除的数的特点：这个数末三位能被“8（125）”整除；

⑥ 能被“7、11、13”整除的数的特点：这个数从右向左每三位分成一节，用奇数节的和减去偶数节的和，所得到的差能被“7、11、13”整除。如果求余数时，则奇数节和小于偶数节和时，需要将奇数节和加上若干个“7、11、13”，再相减。

⑦ 能被“11”整除的数的另一个特点：这个数奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除。例如：“122518”分析：奇数位数字和1+2+1=4，偶数位数字和2+5+8=15，差为11，说明这个数可以被11整除。如果求余数时，则奇数位数字和小于偶数位数字和时，需要将奇数位和加上若干个“11”，再相减。

二、公约数、公倍数

1、最大公约数：公有质因数的乘积。通常用“（ ）”表示。

2、最小公倍数：公有质因数和独有公因数的连乘积。用“[ ]”表示。

3、两个自然数的最小公约数和最大公倍数的乘积=两个自然数的乘积

4、如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。

5、如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。

6、两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。

▲7、根据互质数的意义，相邻的自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。

8、解题思路和方法

（1）求公约数和公倍数一般采用短除法。

（2）对于比较大的两个数求最大公约数（最大公约数一般大于11），也可以采用辗转相除法。辗转相除法步骤：用大数（被除数）除以小数（除数）得到余数，所求最大公约数就是除数与余数的最大公约数，再次相除，依次类推，直到余数为0，最后一个除数既是所求的最大公约数。注意：用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

例：求319、377的最大公约数，即求（319，377）。

解：利用辗转相除法

（319,377）=（377,319）

377÷319=1余58 （377,319）=（319,58）

319÷58=5余29 （319,58）=（58,29）

58÷29=2余0 （58,29）=29

所以（319,377）=29

三、和差、和倍

1、和差：已知两个数的和与差，求这两个数各是多少，这类应用题叫和差问题（已知顺水和逆水速度求船速和水速）。

数量关系：大数=（和+差）÷2；小数=（和-差）÷2

2、和倍：有两个数的和及大数是小数的几倍（或者小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

数量关系：两个数的和÷（几倍+1）=较小的数；较小的数×倍数=较大的数

四、差倍、倍比

1、差倍：有两个数的差及大数是小数的几倍（或者小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

数量关系：两个数的差÷（几倍-1）=较小的数；较小的数×倍数=较大的数

2、倍比：有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

数量关系：总量÷一个数量=倍数；另一个数量×倍数=另一总量

五、方程求解问题

1、定义：把应用题中的未知数用字母

代替，根据等量关系列出含有未知数的等式（方程），通过解这个方程而得到的答案，这个过程叫做列方程解应用题。

2、数量关系：方程等号两边数量相等。

3、解题过程可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法

① 审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。

② 设：把应用题中的未知数设为

。

③ 列：根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。

④ 解：求出所列方程的解。

⑤ 验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。

⑥ 答：回答题目所问，也就是写出答问的话。

在列方程解应用题是，一般设未知数、列方程、解方程、答语。必须检验。

注意：设未知数时要在X后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的X值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。

六、年龄问题

解题关键：紧紧抓住两人的年龄差不变，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

七、鸡兔同笼

1、一般用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡。如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题解决。

2、如果能用方程

，

二元一次方程求解，最好使用方程求解。

八、相遇问题

1、“相遇”广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇。分两种情况：（1）迎面相遇（即我们平时说的相遇问题）（2）追及相遇（即我们平时所说的追及问题）。一般题目说的相遇，我们默认是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点就算作一次相遇，那么两种情况都要算。

2、数量关系：

① 总路程=（甲速+乙速）×相遇时间

② 甲乙两人从同一起点出发往返运动多次相遇问题，每迎面相遇一次，两人一起走了2个全程。

③ 甲乙两人从两端点出发往返运动多次相遇问题，第一次迎面相遇时，两人走了1个全程，之后没迎面相遇一次，两人一起走了2个全程。

3、柳卡图（了解）：柳卡图也叫折线图，解决复杂的行程问题（多次相遇问题）的有效方法。折线图往往能够清晰的体现运动过程中的“相遇次数”，“相遇地点”，以及“由相遇的地点求出全程”。使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完全程所用的时间是多少。

九、追及问题

数量关系：

① 追及时间=追及路程÷（快速-慢速）

② 追及路程=（快速-乙速）×追及时间

十、列车问题

1、火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）÷车速

2、火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速-乙车速）

3、火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）÷（甲车速+乙车速）

十一、行船问题

1、定义：行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度；船只顺水航行的速度（顺水速度）是船速和水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速和水速之差。

2、数量关系：

① 船速=（顺水速度+逆水速度）÷2

② 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

十二、盈亏问题

1、定义：根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，依次有余（盈），依次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

2、数量关系：

①两次分配中，如果一次盈一次亏，则有：

参加分配总人数=（盈+亏）÷分配差

②两次分配都是盈或都是亏，则有：

参加分配总人数=（大盈-小盈）÷分配差

参加分配总人数=（大亏-小亏）÷分配差

十三、工程问题

1、定义：工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一件工作”等，在解题时候，常常用单位“1”表示工作总量。

2、数量关系：解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间关系列出算式。

① 工作量=工作效率×工作时间

② 工作时间=工作量÷工作效率

③ 工作时间=总工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）

十四、正反比例问题

1、正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种辆也随着变化，如果这两种量中向对应的两个数的比值，即商一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

2、反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

十五、按比例分配问题

比的前后项相加求出总份数，各部分占总份数的几分之几，再用总量乘以几分之几即得各部分量的值。

今天的内容分享就到这儿，暂时只是简单的将15个板块的基础内容列出来，后面还有15个板块，明天会分享给大家。今天的板块比较重要的，难懂的就是行程问题，行程问题最主要的就是要求学生在做题的时候动手画行程图，学会自己动脑分析整个运功过程，在起初的学生中，画行程图是非常重要的，行程图画对了，做题时绝对没有问题的；

其次就是一个解方程，找等量关系，很多学生不会找等量关系，如果家长发现自己的孩子不会找等量关系，就得引起高度重视，思维模式是需要加强训练的，找等量关系不管是在今后的初中还是高中，乃至大学都是非常重要的一块儿，找等量关系可能不只是一个等量，但是，条条大路通罗马，至少要找到一条路，才能一路走到底。

向着阳光出发吧！