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回顾下上节课我们学习了不定积分的基本概念，基本积分表及基本性质
但是利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分非常有限，因此有必要进一步来研究不定积分的求法，本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类，下面先讲第一类换元法。 第一类换元法 设f(u)具有原函数F(U),即 F'(U)=f(u),∫f(u)du=F(U)+C 如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有 dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx 从而根据不定积分的定义就得 ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x)) 于是有下述定理 定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式 ∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1) 将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求，而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u. 由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待，从而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F'(x)dx,记作∫dF(x),就是按微分F'(x)dx=dF(x),把被积表达式F'(x)dx.记作dF(x) 如何应用公式(1)来求不定积分？设要求∫g(x)dx，如果函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那么 ∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) 这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，如果能求得f(u)的原函数，那么也就得到了g(x)的原函数 几种常用的凑微分形式：
求下列不定积分 （1）∫secxdx (2)∫1/(sinx+tanx)dx (3)x^2/(x+2)^3dx 解(1)∫secdx=∫dx/cosx=∫cos/(1-sin^2x)dx=∫d(sinx)/(1-sin^2x)dx=1/2∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]d(sinx) =1/2ln(1+sinx)/(1-sinx)+C=1/2ln(1+sinx)^2/(1-sin^2x)+C=lnlsecx+tanxl+C 解(2)∫1/(sinx+tanx)dx=∫cosx/sinx(1+cosx)dx=∫(cos^2x/2-sin^2x/2)/4sinx/2cos^3x/2dx=∫(1-tan^2x/2)/2tanx/2d(tanx/2)=1/2∫(1/(tanx/2)-tanx/2)d(tanx/2)=1/2lnltanx/2l-1/4tan^2x/2+C 解(3)令u=x+2,则x=u-2,dx=du,于是 ∫x^2/(x+2)^3dx=∫(u-2)^2/u^3du=∫(u^2-4u+4)u^(-3)du =∫(u^(-1)-4u^(-2)+4u^(-3))du =lnlul+4u^(-1)-2u^(-2)+C =lnlx+2l+4/(x+2)-2/(x+2)^2+C 上面所举的列子，可以使我们认识到公式(1)在求不定积分中所起的作用，像复合函数的求导法则在微分学中一样，公式(1)在积分学中也是经常使用的，但是利用公式(1)来求不定积分，一般却比利用符合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因为其中需要一定的技巧，而且如何适当的选择变量代换u=φ(x)没有一般规律可循，因此需要掌握换元法，除了熟悉一些典型的列子外，还要做较多的练习才行。 上述各列用的都是第一类换元法，即形如u=φ(x)的变量代换吗，下面介绍另一种形式的变量代换x=φ(t),即所谓第二类换元法。 第二类换元法 上面介绍的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化为积分∫f(u)du。 下面将介绍的第二类换元法是，适当地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分∫f[φ(t)]φ'(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为 ∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt 这公式的成立是需要一定条件的，首先，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出后必须用x=φ(t)的反函数t=φ^(-1)(x)代回去，为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数x=φ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是单调的，可导的，并且φ'(t)=0 归纳上述，我们给出下面的定理 定理2 设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式 ∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x)) (2) 其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函数 注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。关键是：如何选择变量替换。 三角替换法
求下列不定积分 （1）∫x(1-x^4)^3/2dx 解：由于∫x(1-x^4)^3/2dx=1/2∫(1-x^4)^3/2dx^2,故可令x^2=sint,于是 ∫x(1-x^4)^3/2dx=1/2∫cos^4tdt=1/8∫(1+cos2t)^2dt=1/8∫(1+2cos2t+(1+cos4t)/2))dt =1/16(3t+2sin2t+1/4sin4t)+C =1/16[3t+4sint√1-sin^2t+sint√1-sin^2t(1-2sin^2t)]+C =1/16(3arcsinx^2+5x^2√1-x^4-2x^6√1-x^4)+C 今天的2种不定积分换元积分法，到这里就结束了，列题整理的不是很多，在后续会专抽出时间为大家讲解例题及题型，题目还是要多做，如果能把所出现的题型都掌握及解题思路和方法，基本上积分学一章，问题不大。 加油吧，小伙伴们，及时收藏并分享下，让更多的人学习，帮助别人就是帮助自己。 |
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