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家长是奥数学习最好的老师。 今天的目标是让小朋友练习并讲解第15届华杯赛奥数题中的1道，所用知识不超过小学4年级。 题目（难度：超五星） 13个不同的自然数和是996，且这些自然数的数字和都相等。请问这13个数是多少？ 答案：6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150。 辅导办法: 将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。 讲解思路： 解答该题目，最关键的是要知道数字和是多少。 所有涉及到数字和的题目， 都要应用关于9的余数的重要结论—— 任何一个数除以9的余数都等于它的数字和除以9的余数。 比如17的数字和是8，除以9的余数也是8。 因此，解答该题目， 需要弄清楚两个问题， 一是这些数除以9的余数是多少？ 二是这些数的数字和是多少？ 下面，将分别分析这两个问题。 步骤1： 先思考第一个问题。 这13个数除以9的余数相同， 假设这些数除以9的余数是d， 则这13个数的和除以9的余数与13d除以9的余数相同， 和是996，除以9的余数是6， 则13d除以9的余数是6， 即13d=9k+6=3(3k+2) 因此d是3的倍数，只能是3或6， 代入验证， 当d=3时，39除以9的余数是3，不满足条件； 当d=6时，78除以9的余数是6，满足条件。 故：余数是6。 步骤2： 再思考第二个问题。 我们已经知道， 这13个数除以9的余数都是6， 每个数的数字和除以9的余数也都是6。 数字和只能是6、15、24… 但当数字和是15时，13个不同自然数最小是69、78、87、96……,和明显大于996，不符合题意； 当数字和是24或更大时，和就更大了，不符合题意。 因此，数字和是6。 步骤3： 综合上述两个问题。 这13个不同自然数的和是996，每个的数字和都是6， 将满足条件的数从小到大排列， 简单演算可以知道， 这13个数是6、15、24、33、42、51、60、105、114、123、132、141、150。 |
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