第44讲 碰撞 高中物理一轮复习

知识点总结

一、 碰撞

1、 定义：两个或两个以上做相对运动的物体在相互靠近时无论是否接触只要在极短的时间内相互作用使得它们的运动张态发生明显的变化相互交换了动量和能量，这一过程就称为碰撞

 

2、 特点：

（1）碰撞的短暂时间内相互作用很强

（2）碰撞前后状态变化突然且明显

根据碰撞的特点碰撞过程中动量守恒，可以应用动量守恒定律讨论碰撞问题

 

3、 碰撞的分类：

对心碰撞：碰撞前后速度矢量均沿两球的连心线

非对心碰撞：碰撞前后速度矢量均不沿两球的连心线

对心碰撞是碰撞的理想化模型实际中不存在绝对的对心碰撞。既然这样为什么还要研究对心碰撞呢？原因为：

（1）对心碰撞可以将碰撞问题简化

（2）实际中的许多碰撞可以抽象为对心碰撞

（3）由对心碰撞得出的规律有一些也使用于非对心碰撞

 

二、对心碰撞

1、碰撞过程 

以两球的对心碰撞为例分析对心碰撞的过程，对心碰撞过程可以分为四个阶段：

设质量为m_1、m₂的两小球，速度分别v₁₀和v₂₀,均沿两球的连心线且v₁₀>v₂₀

(1) 接触阶段：v₁₀>v₂₀

 

（2）挤压阶段：v₁₀>v₂₀

 

（3）挤压最甚：v₁=v₂

 

(4)  恢复阶段：v₁<>₂

实验发现不同材料的小球碰撞时恢复阶段的情况不同，有的能完全恢复，有的则完全不能恢复，有的部分恢复

 

2、对心碰撞基本公式

用质量为m₁ 、 m₂的两滑块在气垫导轨上做对心碰撞实验碰撞前的速度分别为v₁₀和v₂₀，测得碰撞后的速度 分别v₁₀和v₂₀.根据碰撞的特点碰撞过程中相互作用的内力远大于外力,可以忽略外界影响认为碰撞过程中动量守恒，应用动量守恒定律得：

(1)

与速度矢量平行建x坐标轴上式的投影方程为：

(2)

改变碰前两球的速度发现碰后两球的速度也随着改变，经过多次实验对得到的实验数据进行分析发现：

 

对于一定材料的小球，碰撞后两球分开的相对速度 与碰撞前两球接近的相对速度成正比，比例常数用e表示，则

 (3)

e叫做恢复系数

说明：恢复系数由两球材料的弹性决定可用碰撞实验测得，实验发现：

0≤e≤1  (4)

(1)、(2)式是对心碰撞得两个基本公式，因为研究碰撞问题无非就是已知碰前速度求碰后速度或已知碰后速度求碰前速度再或者求碰撞前后动能的损失，这些问题由（1）、（2）两式都可以解决。例如已知v₁₀和v₂₀由 (1)、(2)解得：

由（7）式发现由于恢复系数不同，碰撞过程中损失的能量也不同，于是可根据恢复系数的不同将对心碰撞分为三类

三、三种碰撞

1、完全弹性碰撞  e=1

（1）特点： 

（2）讨论：

A、  m₁=m₂时   v₁=v_20,    v₂=v₁₀

说明质量相同的两球经完全弹性碰撞交换了速度

若进一步令  v₂₀=0  则v₁=0    v₂=v₁₀ 

这一现象非常直观的说明完全弹性碰撞没有动能的损失。

B、m₁m₂ 且v₂₀=0时

V₁≈-v₁₀     v₂≈0

说明当用一个质量很小的球去撞一个 质量很大的球时，质量小的球几乎以原速率被弹回，而质量大的球几乎不动。如乒乓球与静止的铅球相撞

C、m_1>>m₂  且v₂₀=0时

V₁≈v₁₀,    v₂≈2v₁₀

说明当用一个质量很大的球去撞一个 质量很小的球时，质量大的球速度几乎不变，而质量小的球以二倍于大球的速率运动

 

2、完全非弹性碰撞  e=0

（1）特点：

a、碰撞后两球不再分开以同一速度运动

b、由（7）式可以判断完全非弹性碰撞能量损失最大

下面将e=0代入（7）式求完全非弹性碰撞损失的动能

讨论v₂₀=0这种特殊情况动能的损失，因为打桩、击球、锻打工件等常见的完全非弹性碰撞均属这种情况，所以讨论这种情况具有一定的实际意义

当v₂₀=0时

由（10）式发现，对于v₂₀=0的完全非弹性碰撞动能的损失与两物体的质量比有关。m₁与m₂的比值越大动能损失越小。

当m₁>> m₂时，△E_k≈0  动能损失很小

当m₁ m₂时，△E_k≈△E_k0 动能几乎完全损失掉了。

将我们的分析结果应用于实际，可以根据不同的情况选择不同的质量比。比如打桩时，是利用碰撞后剩余的动能克服土的阻力进入地下的，所以动能损失越小越好，于是尽可能选大质量的锤头。而锻压工件时，利用损失的动能，使工件变形越大越好，所以动能的损失越大越好，所以尽可能增大m₁/ m₂，所以在锻打工件时，在m₂的下面垫一非常重的铁砧，以增大m₁/ m₂ 。

 

3、非完全弹性碰撞0<><>

特点：

a、碰撞后两球分开以不同的速度运动。

b、动能有损失但不象完全非弹性碰撞那么大。

 

四、非对心碰撞

1、定义

2、分类    

二维碰撞：碰撞前后小球的速度矢量在同一平面内

三维碰撞：碰撞前后小球的速度矢量不在同一平面内

 

说明前面在对心碰撞中关于完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞及非完全弹性碰撞及恢复系数的定义对于非对心碰撞仍然适用，只不过在非心碰撞中相对分离速度与相对靠近速度是指碰撞时两球接触处法线方向的分离速度与接近速度。

下面只讨论二维的碰撞，并且只讨论运动小球与静止小球的碰撞。

 

3、二维碰撞

（1）二维碰撞的基本公式

设表面光滑的两个小球质量分别为m₁，m₂，其中m₂静止，m₁以速度v₁₀与m₂相撞。由于两球表面光滑，碰撞时沿切线无作用力，冲力沿连线方向，这样就保证了碰撞后两球心不脱离由此连心线和v₁₀所决定的平面，从而保证了碰撞是一二维的碰撞。

由于碰撞过程中冲力很大，于是可忽略重力作用，认为碰撞过程中系统动量守恒。由动量守恒定律得：

由于碰撞是二维碰撞，在v₁₀和连心线所决定的平面内建平面直角坐标系，以碰撞时的接触点为原点y轴沿碰撞时的连心线x轴与其垂直，如图所示，上式在xoy坐标系的投影方程为：

(1)(2)(3)是二维碰撞的基本公式。

设v₁₀与x的夹角为α则： 

又由于球面光滑碰撞时两球沿x轴方向均不受力，所以

(4)

由(1)(2)(3)(4)得：

下面看一种极限情况：当m₁ m₂时，理论分析：由（4）（5）得：

设v₁₀与x轴夹角为β则：

几何描述：m₁m₂这种极限情况可y视为小球与半径无穷大的球即光滑平面相碰，x轴与光滑平面平行，0点为碰撞接触点。V₁₀、v₁如图所示，从图中看到m₁并非等角反射，碰后速率变小说明机械能有损失。

（2）二维完全弹性碰撞    e=1

说明：当两球质量相同时，运动的球公保留了x方向的速度，沿y向的速度传给了静止的球，使得原来静止的球碰后沿连心线运动。

说明：当质量很小的球斜碰质量很大的静止球时，大球仍静止不动，而质量小的球被等角反射。

另外这种情况下的碰撞还有一种有趣的性质，即不管碰撞后两球如何运动两小球运动方向的夹角总是成直角，证明如下：

由动量守恒得： 

根据矢量合成法则 v₁₀、v₁、v₂围成三角形，另外，由于碰撞为完全弹性碰撞所以动能不变。

 

根据勾股定理，上述三角形是以v₁₀为斜边，v₁、v₂为直角边的三角形，所以，v₁⊥v₂，即碰撞后两球的运动方向垂直，如图4.20所示两核子间的碰撞，其中之一最初静止，末速度彼此垂直。

前面指出物理学中的碰撞，两碰撞体并不一定相互接触，如两微观粒子间的碰撞，设粒子1为靶粒子，粒子2相对粒子1以速度u运动，在2接近后由于它们之间的相互作用，使料子2的运动轨迹发生弯曲，最后以u’运动，这类问题，也可作为非对心碰撞问题处理，在物理学中叫散射。

小结：

这次课我们讨论了碰撞的特点和碰撞过程中遵循的规律，即碰撞过程中动量守恒，给出了恢复系数的定义，并根据恢复系数的不同将碰撞分为完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞及非完全弹性碰撞。

要求同学们：掌握碰撞的特点和规律，记住恢复系数的定义，并掌握完全弹性碰撞。完全非弹性碰撞和非完全弹性碰撞三种碰撞的特点，了解对心碰撞的碰撞过程。