《高中物理思维方法集解》试笔系列—— “动量守恒”及“碰撞”问题

  

我们知道，若物体或系统的合外力为零，则动量守恒。对系统守恒定律的应用，实则有以下几种情况：⑴根本不受外力、或合外力为零，则动量守恒；⑵合外力远远小于内力（或），可认为动量守恒（近似）；⑶某一方向合外力为零（），则该方向动量守恒；⑷初态动量为零，则平均动量守恒。进而，把动量守恒定律应用于两体系统的对心碰撞——弹性碰撞和完全非弹性碰撞当中。不同的是，前者动量、机械能均守恒；后者动量守恒，而有机械能损失。

一、破解依据

欲解决此类问题，可归纳以下几条依据：

㈠系统守恒条件（详见前文）

㈡数学表达式

⑴  ，

即       ，

亦即     ；

⑵  ，即。

㈢弹性碰撞

⑴特点：动量、机械能均守恒。碰后两体“依然分立”，系统机械能没损失。

⑵方程组：

，

即       ，

亦即     。

㈣完全非弹性碰撞

⑴特点：动量守恒，而机械能损失。实则碰后两体“合而为一”，系统机械能损失最大。

⑵方程组：

，其中称系统动能损失，其他算式类前。

㈤系统中有一对动摩擦力做功时，动能损失等于动摩擦力与相对位移之积（实则转化为热量）。

二、精选例题

[例题1]（07天津）如图—1所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是(    )

A．A开始运动时

B．A的速度等于v时

C．B的速度等于零时

D．A和B的速度相等时

[例题2]（07四川） 如图—2所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为 m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为 m 的小球从槽高h处开始自由下滑（    ）

A．在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒

B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功

C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动

D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高h处

 

[例题3]（04天津）如图—3所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动。两球质量关系为，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为，则（    ）

A. 左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为

B. 左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为

C. 右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为

D. 右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为

 

[例题4] （02春季高考）在高速公路上发生一起交通事故，一辆质量为1500kg向南行驶的长途客车迎面撞上了一质量为3000kg向北行驶的卡车，碰后两车接在一起，并向南滑行了一小段距离后停止，根据测速仪的测定，长途客车碰前以20m/s的速率行驶，由此可判断卡车碰前的行驶速率

A  小于10m/s              B  大于10m/s小于20m/s

C  大于20m/s小于30m/s    D  大于30m/s小于40m/s

 

[例题5]（03春季高考） 在滑冰场上，甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上，原来静止不动，在相互猛推一下后分别向相反方向运动。假定两板与冰面间的摩擦因数相同。已知甲在冰上滑行的距离比乙远，这是由于

A  在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力

B  在推的过程中，甲推乙的时间小于乙推甲的时间

C  在刚分开时，甲的初速度大于乙的初速度

D  在分开后，甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小

[例题6]（07北京）如图—4所示的单摆，摆球a向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不便。已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点的高度差为h，摆动的周期为T，a球质量是b球质量的5倍，碰撞前a球在最低点的速度是b球速度的一半。则碰撞后

A．摆动的周期为

B．摆动的周期为

C．摆球最高点与最低点的高度差为0.3h

D．摆球最高点与最低点的高度差为0.25h

   

[例题7] 场强为E、方向竖直向上的匀强电场中有两小球A、B，它们的质量分别为m₁、m₂，电量分别为q₁、q₂，A、B两球由静止释放，重力加速度为g，则小球A和B组成的系统动量守恒应满足的关系式为      .

 

 

 

 

 

[例题8]（06天津）如图—5所示，坡道顶端距水平面高度为，质量为的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端与质量为的挡板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点。A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为，其余各处的摩擦不计，重力加速度为，求：

（1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度的大小；

（2）弹簧最大压缩量为时的弹性势能（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题9]（08山东）一个物体静置于光滑水平面上，外面扣一质量为M的盒子，如图—6左所示。现给盒子—初速度v₀，此后，盒子运动的v-t图象呈周期性变化，如图—6右所示。请据此求盒内物体的质量。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题10] (08重庆)题图—7中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调.起初，滑块静止,ER流体对其阻力为0，弹簧的长度为L，现有一质量也为m的物体从距地面2L处自由落下，与滑块碰撞后粘在一起向下运动.为保证滑块做匀减速运动，且下移距离为时速度减为0，ER流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）:

(1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能；

(2)滑块向下运动过程中加速度的大小；

(3)滑块下移距离d时ER流体对滑块阻力的大小.

 

 

 

 

 

 

 

[例题11]（08海南物理） 一置于桌面上质量为M的玩具炮，水平发射质量为m的炮弹.炮可在水平方向自由移动.当炮身上未放置其它重物时，炮弹可击中水平地面上的目标A：当炮身上固定一质量为M₀的重物时，在原发射位置沿同一方向发射的炮弹可击中水平地面上的目标B.炮口离水平地面的高度为h.如果两次发射时“火药”提供的机械能相等，求B、A两目标与炮弹发射点之间的水平距离之比。

 

 

 

 

 

 

[例题12]（06江苏）如图—8所示，质量均为m的A、B两个弹性小球，用长为2l的不可伸长的轻绳连接。现把A、B两球置于距地面高H处（H足够大），间距为l，当A球自由下落的同时，B球以速度v_o指向A球水平抛出。求：

（1）两球从开始运动到相碰，A球下落的高度。

（2）A、B两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。

（3）轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题13]（07重庆）某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如题—9图所示。用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，

g取10 m/s²）

（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v_n，求n+1号球碰撞后的速度。

（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16 h小于绳长）问k值为多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题14]（05全国Ⅱ） 质量为M的小物块A截止在离地面高h的水平桌面的边缘，质量为m的小物块B沿桌面向A运动并以速度v₀与之发生正碰（碰撞时间极短）。碰后A离开桌面，其落地点离出发点的水平距离为L。碰后B反向运动。求B后退的距离。以知B与桌面的动摩擦因数为μ。重力加速度为g。

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题15] (02广东)下面是一个物理演示实验，它显示：图—10中自由下落的物体Ａ和Ｂ经反弹后，Ｂ能上升到比初始位置高得多的地方．Ａ是某种材料做成的实心球，质量ｍ_１＝0．28ｋｇ，在其顶部的凹坑中插着质量ｍ_２＝0．10ｋｇ的木棍Ｂ．Ｂ只是松松地插在凹坑中，其下端与坑底之间有小空隙．将此装置从Ａ下端离地板的高度Ｈ＝1．25ｍ处由静止释放．实验中，Ａ触地后在极短时间内反弹，且其速度大小不变；接着木棍Ｂ脱离球Ａ开始上升，而球Ａ恰好停留在地板上．求木棍Ｂ上升的高度，重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ²．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题16]（08全国Ⅱ）如图—11, 一质量为M的物块静止在桌面边缘, 桌面离水平面的高度为h. 一质量为m的子弹以水平速度v₀射入物块后, 以水平速度v₀/2射出. 重力加速度为g. 求

（1）此过程中系统损失的机械能；

（2）此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。

   

 

 

 

 

 

          

 

 

[例题17]（05全国Ⅲ）如图—12所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自已刚好能回到高处A 。求男演员落地点C 与O 点的水平距离s。已知男演员质量m₁，和女演员质量m₂之比=2,秋千的质量不计，秋千的摆长为R , C 点比O 点低5R。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题18] （07宁夏）在光滑的水平面上，质量为m₁的小球A以速率v₀向右运动。在小球的前方O点处有一质量为m₂的小球B处于静止状态，如图—13所示。小球A与小球B发生正碰后小球A、B均向右运动。小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO。假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的，求两小球质量之比m₁/m₂。

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题19]（07广东物理）如图—14所示，在同一竖直面上，质量为2m的小球A静止在光滑斜面的底部，斜面高度为H＝2L。小球受到弹簧的弹性力作用后，沿斜面向上运动。离开斜面后，达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B发生弹性碰撞，碰撞后球B刚好能摆到与悬点O同一高度，球A沿水平方向抛射落在水平面C上的P点，O点的投影O^/与P的距离为L/2。已知球B质量为m，悬绳长L，视两球为质点，重力加速度为g，不计空气阻力，求：

⑴球B在两球碰撞后一瞬间的速度大小；

⑵球A在两球碰撞前一瞬间的速度大小；

⑶弹簧的弹性力对球A所做的功。

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题20]（08北京）有两个完全相同的小滑块A和B，A沿光滑水平面以速度v₀与静止在平面边缘O点的B发生正碰，碰撞中无机械能损失。碰后B运动的轨迹为OD曲线，如图—15所示。

（1）已知滑块质量为m,碰撞时间为，求碰撞过程中A对B平均冲力的大小。

（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速下滑的运动，特制做一个与B平抛轨道完全相同的光滑轨道，并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置，让A沿该轨道无初速下滑（经分析，A下滑过程中不会脱离轨道）。

a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量p_A与B平抛经过该点的动量p_B的大小关系;

b.在OD曲线上有一M点，O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°。求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度。

 

 

 

 

 

 

 

[例题21]（08广东物理）如图—16所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧而，A和D分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑，小滑块P₁和P₂的质量均为m，滑板的质量M=4 m.P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为和，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，开始时滑板紧靠槽的左端，P₂静止在粗糙面的B点，P₁以v₀=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P₂发生弹性碰撞后，P₁处在粗糙面B点上，当P₂滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P₂继续滑动，到达D点时速度为零，P₁与P₂视为质点，取g=10 m/s².问：

（1）P₂在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？

(2)BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后，P₁与P₂间的距离为多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[例题22] （08广东物理）如图—17（a）所示，在光滑绝缘水平面的AB区域内存在水平向右的电场，电场强度E随时间的变化如图16（b）所示.不带电的绝缘小球P₂静止在O点.t=0时，带正电的小球P₁以速度t₀从A点进入AB区域，随后与P₂发生正碰后反弹，反弹速度大小是碰前的倍，P₁的质量为m₁，带电量为q，P₂的质量m₂=5m₁,A、O间距为L₀，O、B间距.已知.

（1）求碰撞后小球P₁向左运动的最大距离及所需时间.

（2）讨论两球能否在OB区间内再次发生碰撞.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

               

 

 

 

 

三、参考答案

⒈B   ⒉C   ⒊A   ⒋A   ⒌C   ⒍D    ⒎答案：（ E(q₁+q₂)=(m₁+m₂)g ）

 

⒏[解析]（1）由机械能守恒定律，有

-------- ①  

 ------------②

（2）A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有

 ------③

A、B克服摩擦力所做的功

------ ④

由能量守恒定律，有

--------- ⑤

解得

 

 

⒐[解析]设物体的质量为m,t₀时刻受盒子碰撞获得速度v，根据动量守恒定律

                 --------------- ①

3t₀时刻物体与盒子右壁碰撞使盒子速度又变为v₀，说明碰撞是弹性碰撞

                 -------------②

联立①②解得           m=M                       

通过图象分析，可见盒子速度呈……规律变化， 说明盒子与物体之间必定发生“动量、动能传递”数量均相等的弹性碰撞，从而得出v₀=v, m=M的正确结果。

 

⒑[解析]（1）设物体下落末速度为v₀，由机械能守恒定律

可得                  

设碰后共同速度为v₁，由动量守恒定律

2mv₁=mv₀

又得                  

不难求出，碰撞过程中系统损失的机械能

(2)设加速度大小为a,有

 

从而可得              

（3）设弹簧弹力为F_N，ER流体对滑块的阻力为F_ER，受力分析如图—18所示

由此，即可求出

 

⒒[解析] 设炮弹的出口速度和炮身的反冲速度为v₁和v₂，E为“火药”提供的机械能，由动量守恒定律和能量守恒定律得

                         

    由①②式得

                       

    炮弹射出后做平抛运动。有

                       

    式中，t是炮弹从射出到落地时所需要的时间，设x、x^/为目标A、B距炮口的水平距离，由③④⑤式得

                       

   再 由⑥⑦式得

                   

⒓[解析] （1）设 A球下落的高度为 h

l= v₀ t-----------------------①

                        h=1/2gt²---------------------②

联立①②得  

?（2）由水平方向动量守恒得

mv₀ =mv_Ax^′ + mv_B^′---------④

由机械能守恒得

 

----------⑤

式中  v_Ay^′＝v_Ay ,  v_By^′＝v_By；联立④⑤得

v_Ax^′＝v₀     v_Bx^′＝0

由水平方向动量守恒得

mv₀ =2mv_BX″^′

I=mv _Bx″=mv₀ /2

⒔[解析](1)设n号球质量为m,n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n、0、m_n+1

根据动量守恒，有

                ①

根据机械能守恒，有

=          ②  

由（1）、(2)得           

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为E_n+1，据题意有v_n-1=_，得

v_n-1==                      ③

（2）设1号球摆至最低点时的速度为v₁,由机械能守恒定律有

                        ④

v₁=                            ⑤

同理可求，5号球碰后瞬间的速度

                       ⑥

由(3)式得                               ⑦

N=n=5时，v₅=         ⑨

由(5)、(6)、(8)三式得

k=    ⑩

（3）设绳长为l,每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F,由牛顿第二定律有

                     ⑾

则

         

⑾式中E_kn为n号球在最低点的动能,由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据（11）式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断.

 

⒕[解析] 首先，设t为A从离开桌面至落地经历时间，V表示刚碰后A的速度，有

h=gt²----------- ①

L=Vt  --------------②

然后，设v为刚碰后B的速度的大小，由动量守恒，

mv₀=MV-mv -----------------③

再设B后退的距离为l，由功能关系，

μmgl=mv² -------------- ④

最后，由以上各式得

l=

 

⒖[解析] 依题意，Ａ碰地板后，反弹速度的大小v₁等于它下落到地面时速度的大小，即
                      v₁＝
Ａ刚反弹后，速度向上，立刻与下落的Ｂ碰撞，碰前Ｂ的速度亦为
                      v₂＝
已知碰后Ａ速度为零，以v₂′表示Ｂ上升的速度，根据动量守恒，有
                     
令ｈ表示Ｂ上升的高度，有
                     

由以上各式并代入数据，得
                      .
 

⒗[解析] （1）设子弹穿过物块后物块的速度为V，由动量守恒得

                       ---------------○11

     解得              

 ------------------ ○22

系统的机械能损失为

                       -----------○33

由○223式得

                       ----------------- ○44

（2）设物体下落到地面所需时间为t，落地点距桌面边缘的水平距离为s，则

                        -------------○55

                        ----------------- ○66

由○2256式得

                  

⒘[解析]设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v₀，由机械能守恒定律

(m₁+m₂)gR=(m₁+m₂)v₀²

设刚分离时男演员速度的大小为v₁,方向与v₀相同；女演员速度的大小为v₂，方向与v₀相反，由动量守恒，

(m₁+m₂)v₀=m₁v₁－m₂v₂

分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t ，根据题给条件，由运动学规律

4R=gt²    s=v₁t

根据题给条件，女演员刚好回到A点，由机械能守恒定律,

m₂gR=m₂v₂²

已知=2,由以上各式，可得 

s=8R

 

⒙[解析] 从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，根据它们通过的路程，可知小球B和小球A在碰撞后的速度大小之比为4∶1。

设碰撞后小球A和B的速度分别为和，在碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等

利用=4，可解出

 

⒚[解析]⑴碰撞后，根据机械能守恒定律，对B球有

                     

解得                 

    ⑵A、B球碰撞有    

                     

解得                 

                      

⑶碰后A球做平抛运动，设平抛高度为y，有

解得                   y＝L

    对A球应用动能定理得

 

解得                 

 

⒛[解析]⑴滑动A与B正碰，满足

mv_A-mV_B=mv₀   -----------------  ①

 ------ ②

由①②，解得

v_A=0, v_B=v₀,

根据动量定理，滑块B满足       

F·t=mv₀

解得               

 

⑵a.设任意点到O点竖直高度差为d. B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒。选该任意点为势能零点，有

E_A=mgd,E_B= mgd+

由于p=,有

即   P_A<P_B，由此可见，A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量。

b.以O为原点，建立直角坐标系xOy,x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对

B有

x=v₀t·y=gt²

B的轨迹方程       y=

在M点x=y，所以

 y=-------------------③

因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同。设B水平和竖直分速度大小分别为和，速率为v_B；A水平和竖直分速度大小分别为和，速率为v_A,则

------------④

B做平抛运动，故

 --------⑤

对A由机械能守恒得

v_A=-------------------⑥ 

由④⑤⑥得

将③代入得        

21. [解析] （1）P₁滑到最低点速度为，由机械能守恒定律有：

   

解得                 

P₁、P₂碰撞，满足动量守恒，机械能守恒定律，设碰后速度分别为、

     

 

解得                      

=5m/s

P₂向右滑动时，假设P₁保持不动，对P₂有：（向左）

对P₁、M和P₁分别有

 

，所以假设成立。

（2）P₂滑到C点速度为，由  

得                    

P₁、P₂碰撞到P₂滑到C点时，设P₁、M速度为v，由动量守恒定律

   

解得                   

对P₁、P₂、M为系统，由功能关系

代入数值得            

滑板碰后，P₁向右滑行距离、P₂向左滑行距离分别为

所以P₁、P₂静止后距离

22. [解析] (1)P₁经t₁时间与P₂碰撞，则

P₁、P₂碰撞，设碰后P₂速度为v₂，由动量守恒定律

解得                   （水平向左）   

（水平向右）

碰撞后小球P₁向左运动的最大距离为

    

 又               

解得                  

所需时间          

（2）设P₁、P₂碰撞后又经时间在OB区间内再次发生碰撞，且P₁受电场力不变，由运动学公式，以水平向右为正    则

 

解得                 （故P₁受电场力不变）

对P₂分析

 

所以假设成立，两球能在OB区间内再次发生碰撞。