关于FFT实时频谱的几个基本概念 | 科创仪表局

实时频谱图通常由快速傅里叶变换得来。我们知道，传统的扫描频谱在任一瞬间其实只能接收某个特定频率的信号，如果扫描到这个特定点的时候，该信号刚好没有出现，则会被遗漏。因此，不能用扫描频谱仪来捕捉快速跳频信号。当用来观察其它调制信号的时候，看到的也不是该调制信号的真实频谱。例如，对于单音调频信号，事实上任意瞬间，只存在一个频率。但是用扫描频谱来观察时，只有当信号的瞬间频率和频谱仪的瞬间频率恰好靠近时，才能被频谱仪检测。根据扫描速度的不同，同一个调频信号可以出现“多种”频谱。而实时频谱仪的数据来源，是整个通频带的IQ信号，该信号符合奈奎斯特定理，所以不会丢失任何信息。这样看来，只要偶发事件（例如一个跳频点）的持续时间，长于奈奎斯特定理规定的极限（二分之一采样率的倒数），那么实时频谱就必然能发现它。事实是这样的吗？

我们用有波形界的photoshop之称的音频编辑软件Adobe Audition（原来叫做cooledit）来加以演示。大家也可以自己装上这个软件玩一玩。

首先需要生成一个信号。我们生成的是1KHz和2KHz的双音。先用很高的采样率（1.2MS）来生成。

波形见下图

我们来对它进行一个傅里叶分析。采用凯撒窗口，FFT点数高达16384点。

这是FFT的结果。可以看到，频谱的频率分辨率非常糟糕，分辨率带宽（RBW）高达100Hz，请注意右侧的坐标。

这是因为采样率太高造成的。1.2M的采样率，FFT结果能实现0-600KHz的频谱，对于2KHz的信号，所占的比例就非常少，即使采用了1.6万点的FFT，也只能在很少的点上有反映，加窗以后，频率分辨率就非常低。
为了看到更清晰的谱图，必须减小RBW。方法是增大FFT点数，或者降低采样率。由于软件最大只能1.6万点，所以只剩下降低采样率一条路。考虑到我们的信号频率非常低，选用12KS的采样率就足够了。

生成新波形，依然是1KHz，2KHz双音。

对新波形做1.6万点FFT。可以看到，谱线非常细，与背景噪声的反差也不显著。通过降低采样率，的确显著的提高了频率分辨率。在1.2M采样率时，1.6万点仅仅相当于不到2毫秒，才覆盖了不到2个周期。而12K采样率时，同样的点数已经覆盖了200个周期。

把FFT的点数修改为1024点，可以看到反差显著的增加，且谱线变粗。

我们制造一个长度为0.1秒的事件，即在波形中，中断原有的信号0.1秒，插入3KHz的单音。

我们用1.6万点来做FFT，得到下面谱线。请务必注意横坐标，插入的事件长度为0.1秒，但受影响的时间高达2秒。在这两秒内，中断的1KHz和2KHz单音从未消失，新出现的3KHz单音虽能显示，但是不论宽度还是幅度，都是错误的。这就说明，1.6万点FFT的时间分辨率极低，尽管它有很好的频率分辨率。
由于这种谱线是不正确的，所以并不能认为实时频谱“发现了”3KHz的事件。

把FFT点数修改为1024点。谱线显著的变胖了，也就是说频率分辨率降低。从横坐标来看，时间分辨率提高了，而且有一瞬间，1KHz和2KHz单音基本消失，而3KHz单音比较突出的显示出来。1024点对应的时间长度大约为0.1秒，可以认为对于12KS采样率来说，1024点是能够基本正确的分辨0.1秒事件的最大点数。

其实1024点的幅度依然不够准确。因为1024个采样点，有很大可能包含了事件还没发生时的数据，也有很大可能包含了一些事件已经结束后的数据。如果FFT是一段一段逐步进行的，那么，如果希望这1024个点总有一次只包含“纯净”的事件，那么事件长度至少应当是1024个点所占时间的2倍，也就是0.2秒。反过来看，如果只有512个点，就能符合这个2倍关系，如下图。

当然，如果不想过多的降低FFT点数，还有一个办法是不要以总点数为分段，而是用类似“先进先出”的方法。比如，一次新加入128个采样点，吐掉128个采样点。这样做的后果是FFT的次数会增加8倍（如果总长度为1024的话），增加8倍的计算量。但是它能提高出现“纯洁”事件的概率。这就是“重叠帧”技术。当重叠帧的“重叠”量无限增大时，就能把上述2倍关系，变成刚好1倍。当然不可能无限重叠，根据DSP或者FPGA的运算速度，通常只能做到50%重叠帧。
下面的图是更小的FFT点数的结果。
128点

64点，可以看到频率分辨率严重降低，已经到了快要分不清三个频率的地步，但时间能够更精确的表现。

下图是采用了矩形系数更好的汉明窗的结果（128点）。调整不同的窗函数能够稍微改善频率分辨率，但是很明显，底噪增加了。

另外构建一个更短的事件，这次是1ms。

对它做1.6万点FFT。注意横坐标，此时，完全看不到3KHz的事件，而1KHz和2KHz的断点也完全无法看到。整个底部都受到了污染。

用少一些的点数看看。

这是能分清双音的极限（64点）。在图中，可以知道发生了事件，但是通过这个图，无法对事件的性质进行任何判断。因此可以认为该频谱仪对0.01秒的事件其实无能为力。

最后，我们可以定义实时频谱仪的时间分辨率，它是考虑重叠帧后，一次FFT较上一次FFT所新吞吐的原始数据所代表的时间长度。而100%捕获时间（POI）指标，是考虑重叠帧以后，能够“纯净的”落在一次FFT长度之内的事件的最短时间。

上述两个概念都有一个前提，事件必须能被显示器用不同灰度或颜色区分开。显示器的刷新率是有限的，通常最多也就60帧左右。而短的FFT点数意味着FFT的次数极多，可能每秒上百万次。这样多的次数即使能被显示，人眼也看不见。为了解决这个问题，人们用显示器的第三个维度——亮度或者颜色来代表FFT谱线在同一位置出现的多少，从而发明了余辉显示技术。

用降低FFT点数的方法能够显著提升时间分辨率和捕获概率，但是，会显著的恶化频率分辨率（分辨带宽，RBW）。如果一个频谱仪标出1μs的100%POI，而此时FFT点数是128点（对于40M带宽而言，频率分辨率1.5MHz）——那么基本上就是在用单个奇高的指标来耍流氓了。

上面是用波形分析软件进行的演示。对于HDSDR和SDR#这样的SDR软件，它的FFT本身就不是连续的，两次FFT之间会丢弃大量的原始数据，即使是连续的扫频信号，也会被显示成间断的点，因此不能用于这样的演示。