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玻尔从氢原子光谱的巴耳末公式和约翰尼斯·斯塔克的价电子跃迁辐射等概念受到启发，对围绕原子核运动的电子轨道进行了量子化，而原子核和电子之间的动力学则依然遵守经典力学，因此一般来说玻尔模型是一种半经典理论。这些内容发表在他1913年的著名三部曲论文《论原子构造和分子构造》中。论文中他建立了一个电子轨道量子化的氢原子模型，这一模型是基于两条假设之上的： 1、体系在定态中的动力学平衡可以藉普通力学进行讨论，而体系在不同定态之间的过渡则不能在这基础上处理。 2、后一过程伴随有均匀辐射的发射，其频率与能量之间的关系由普朗克理论给出。 这一模型很好地描述了氢光谱的规律，并且和实验观测值相当符合。此外，玻尔还从对应原理出发，将电子轨道角动量也进行了量子化，并给出了电子能量、角频率和轨道半径的量子化公式。玻尔模型在解释氢原子的发射和吸收光谱中取得了非常大的成功，是量子理论发展的重要里程碑。 不过，玻尔模型在很多地方仍然是粗略的：例如它只能解释氢原子光谱，对其他稍复杂的原子光谱就毫无办法；它创立之时人们还没有自旋的概念，从而玻尔模型无法解释原子谱线的塞曼效应和精细结构；玻尔模型也无法说明电子在两条轨道之间跃迁的过程中到底是处于一种什么状态（即泡利所批评的“糟糕的跃迁”）。 德国物理学家阿诺·索末菲在1914年至1915年间发展了玻尔理论，他提出了电子椭圆轨道的量子化条件，从而将开普勒运动纳入到量子化的玻尔理论中并提出了空间量子化概念，他还给量子化公式添加了狭义相对论的修正项。 索末菲的量子化模型很好地解释了正常塞曼效应、斯塔克效应和原子谱线的精细结构，他的理论收录在他在1919年出版的《原子结构与光谱线》一书中。索末菲在玻尔模型的基础上给出了更一般化的量子化条件：{\displaystyle \oint p_{i}dq_{i}=n_{i}h\,\!} ，这一条件被称作旧量子条件或威耳逊-索末菲量子化定则，与之相关联的理论是埃伦费斯特指出的被量子化的物理量是一个绝热不变量。 1905年爱因斯坦对电磁辐射的能量进行量子化从而提出了光量子的概念，但此时的光量子只是能量不连续性的一种体现，还不具有真实的粒子概念。1909年，爱因斯坦发表了《论我们关于辐射的本性和组成的观点的发展》，在这篇发言兼论文中爱因斯坦证明了如果普朗克黑体辐射定律成立，则光子必须携带有动量并应被当作粒子对待，同时还指出电磁辐射必须同时具有波动性和粒子性两种自然属性，这被称作波粒二象性。 1917年，爱因斯坦在《论辐射的量子理论》中更深入地讨论了辐射的量子特性，他指出辐射具有两种基本方式：自发辐射和受激辐射，并建立了一整套描述原子辐射和电磁波吸收过程的量子理论，这不但成为五十年后激光技术的理论基础，还促成了现代物理学中迄今最精确的理论——量子电动力学的诞生。 1923年，美国物理学家阿瑟·康普顿在研究X射线被自由电子散射的情况中发现X射线出现能量降低而波长变长的现象，他用爱因斯坦的光量子论解释了这一现象并于同年发表了《X射线受轻元素散射的量子理论》。康普顿效应从而成为了光子存在的论断性证明，它证明了光子携带有动量，爱因斯坦在1924年的短评《康普顿实验》中高度评价了康普顿的工作。 1923年，法国物理学家路易·德布罗意在光的波粒二象性，以及布里渊为解释玻尔氢原子定态轨道所提出的电子驻波假说的启发下，开始了对电子波动性的探索。 他提出了实物粒子同样也具有波粒二象性的假说，对电子而言，电子轨道的周长应当是电子对应的所谓“位相波”波长的整数倍。德布罗意在他的博士论文中阐述了这一理论，但他同时认为他的电子波动性理论所描述的波的概念“像光量子的概念一样，只是一种解释”，因此真正的粒子的波函数的概念是等到薛定谔建立波动力学之后才完备的。另外，德布罗意在论文中也并没有明确给出物质波的波长公式，虽然这一想法已经反映在他的内容中。 德布罗意的博士论文被爱因斯坦看到后得到了很大的赞许，爱因斯坦并向物理学界广泛介绍了德布罗意的工作。这项工作被认为是统一了物质粒子和光的理论，揭开了波动力学的序幕。1927年，贝尔实验室的克林顿·戴维孙和雷斯特·革末进行了著名的戴维孙-革末实验，他们将低速电子射入镍晶体，观测每一个角度上被散射的电子强度，所得的衍射图案与布拉格预测的X射线的衍射图案相同，这是电子也会像波一样发生衍射的确凿证明。特别地，他们发现对于具有特定能量的入射电子，在对应的散射角度上散射最明显，而从布拉格光栅衍射公式得到的衍射波长恰巧等于实验中具有对应能量电子的德布罗意波长。 有别于旧量子论的现代量子力学的诞生，是以1925年德国物理学家维尔纳·海森堡建立矩阵力学和奥地利物理学家埃尔温·薛定谔建立波动力学和非相对论性的薛定谔方程，从而推广了德布罗意的物质波理论为标志的。 矩阵力学是第一个完备且被正确定义的量子力学理论，通过将粒子的物理量阐释为随时间演化的矩阵，它能够解释玻尔模型所无法理解的跃迁等问题。矩阵力学的创始人是海森堡，另外他的德国同胞马克斯·玻恩和帕斯库尔·约当也做出了重要工作。 1924年，23岁的海森堡还只是哥廷根大学未取得终身教职的一名年轻教师，他于同年九月应玻尔的邀请来到哥本哈根进行六个月的交流访问，此间海森堡受到了玻尔和他的学生汉斯·克拉莫斯等人的深刻影响。 1925年海森堡回到哥廷根，在五月之前他的工作一直是致力于计算氢原子谱线并试图只采用可观察量来描述原子系统。同年六月为了躲避鼻炎的流行，海森堡前往位于北海东部并且没有花粉侵扰的黑尔戈兰岛。在那里他一边品味歌德的抒情诗集，一边思考着光谱的问题，并最终意识到引入不可对易的可观察量或许可以解决这个问题。 其后他在回忆中写道：“当时正是凌晨三点，最终的计算结果即将出现在我面前，起初这让我深深震撼了。我非常兴奋以至于无法考虑睡觉的事，于是我离开房间前往岩石的顶端等待朝阳。”我们可以想象一下，他的高兴，他的喜悦。 回到哥廷根后，海森堡将他的计算递交给沃尔夫冈·泡利和马克斯·玻恩评判，他对泡利附加评论说：“所有内容对我来说都还很不清楚，但似乎电子不应当在轨道上运动了”。 在海森堡的理论中，电子不再具有明确的轨道，他从而意识到电子的跃迁几率并不是一个经典量，因为在描述跃迁的傅里叶级数中只有频率是可观察量。他用一个系数矩阵取代了经典的傅里叶级数，在经典理论中傅里叶系数表征着辐射的强度，而在矩阵力学中表征强度的则是位置算符的矩阵元的大小。 海森堡理论的数学形式中系统的哈密顿量是位置和动量的函数，但它们不再具有经典力学中的定义，而是由一组二阶（代表着过程的初态和终态）傅里叶系数的矩阵给出。 玻恩在阅读海森堡的理论时，发现这一数学形式可以用系统化的矩阵方法来描述，这一理论从而被称作矩阵力学。于是玻恩和他的助手约尔当一起发展了这种理论的严谨数学形式，他们的论文在海森堡的论文发表六十天后也公布于众。 同年11月16日，玻恩、海森堡和约尔当三人又联合发表了一篇后续论文，论文将情形推广到多自由度及含有简并、定态微扰和含时微扰，全面阐述了矩阵力学的基本原理： 1. 所有的可观察量都可用一个厄米矩阵表示，一个系统的哈密顿量是广义坐标矩阵和与之共轭的广义动量矩阵的函数。 2. 可观察量的观测值是厄米矩阵的本征值，系统能量是哈密顿量的本征值。 3. 广义坐标和广义动量满足正则对易关系（强量子条件）。 4. 跃迁频率满足频率条件。 如上所述，海森堡的矩阵力学所基于的观念是，电子本身的运动是无法观测的，例如在跃迁中只有频率是可观察量，只有可观察量才可被引入物理理论中。因此如果不能设计一个实验来准确观测电子的位置或动量，则谈论一个电子运动的位置或动量是没有意义的。 1927年，海森堡从位置和动量的共轭对易关系推导出了两者的不确定性之间的关系，这被称作不确定性原理。海森堡设想了一个理想实验，即著名的海森堡显微镜实验，来说明电子位置和动量的不确定性关系；以及通过施特恩-盖拉赫实验来说明自旋的几个正交分量彼此之间的不确定性关系。 不过，玻尔虽然对海森堡的不确定性原理表示赞同，却否定了他的理想实验。玻尔认为不确定性原理其实是波粒二象性的体现，但实验观测中只能展示出粒子性或波动性两者之一，即不可能同时观测到电子的粒子性和波动性，这被玻尔称作互补原理。 海森堡的不确定性原理、玻尔的互补原理和波恩的波函数统计诠释以及相关联的量子观念，构成了被当今物理学界最为认可的量子力学思想——哥本哈根诠释。 1925年，在苏黎世大学担任教授的埃尔温·薛定谔读到了德布罗意有关物质波理论的博士论文，薛定谔本人又受爱因斯坦波粒二象性等思想的影响颇深，他从而决定建立一个描述电子波动行为的波方程。 当时由于人们还不十分理解电子自旋这一量子力学中最大的相对论效应，薛定谔还无法将波动方程纳入狭义相对论的框架中，他从而试图建立了一个非相对论性的波方程。1926年1月至6月间，薛定谔发表了四篇都名为《量子化就是本征值问题》的论文，详细论述了非相对论性电子的波动方程、电子的波函数以及相应的本征值（量子数）。 哈密顿曾认为力学是波动理论在波长为零时的极限情形，而薛定谔正是受此引导发展了这一观念，他将哈密顿力学中的哈密顿-雅可比方程应用于爱因斯坦的光量子理论和德布罗意的物质波理论，利用变分法得到了非相对论量子力学的基本方程——薛定谔方程。 薛定谔发现这个定态方程的能量本征值正对应着氢原子的能级公式，由此他得出，量子化条件是不需要像玻尔和索末菲那样人为引入的，它可以很自然地从本征值问题推出。 在三维球坐标系下将薛定谔方程应用于氢原子可以得到三个量子化条件：轨道量子数（决定电子的能级）、角量子数（决定电子的轨道角动量）和磁量子数（决定电子在垂直方向的磁矩）。在其后的论文中，他分别讨论了含时的薛定谔方程、谐振子、微扰理论，并应用这些理论解释了斯塔克效应和色散等问题。 薛定谔把自己的理论称作波动力学，这成为了现代量子力学的另一种形式。特别是，薛定谔的理论是以一个偏微分方程为基础的，这种波动方程对人们而言相当熟悉，相比之下海森堡的矩阵力学所采用的数学形式则不那么易懂（在海森堡的理论之前，矩阵只是数学家的玩具，从未被引入任何物理理论中）。因此一开始波动力学比矩阵力学要更受科学界的青睐，爱因斯坦、埃伦费斯特等人对薛定谔的工作都非常赞赏。 直到1926年薛定谔在研究海森堡的理论之后，发表了《论海森堡、玻恩与约尔当和我的量子力学之间的关系》，证明了两种理论的等价性；不过，对当时大多数的物理学家而言，波动力学中数学的简明性仍然是显而易见的。 波动力学建立后，人们还一直不清楚波函数的物理意义，薛定谔本人也只能认为波函数代表着粒子波动性的振幅，而粒子则是多个波函数所构成的波包（所谓电子云模型）。1926年，玻恩在爱因斯坦光量子理论中光波振幅正比于光量子的几率密度这一观点的启发下，联系到量子力学中的散射理论，提出了波函数的统计诠释：波函数是一种几率波，它的振幅的平方正比于粒子出现的几率密度，并且波函数在全空间的积分是归一的。玻恩由于波函数的统计诠释获得了1954年的诺贝尔物理学奖。 1921年，德国物理学家阿尔弗雷德·朗德指出反常塞曼效应意味着电子的磁量子数只能为半整数。1924年，奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利提出这个半整数代表着电子的第四个自由度，并在此基础上提出了泡利不相容原理。 泡利最初未能对这第四个自由度的物理意义作出解释，但其后美国物理学家拉尔夫·克罗尼格提出这个自由度可以看作是电子的一种内禀角动量，相当于电子在沿自己的轴旋转，然而泡利对此不以为然，他很反对将这种经典力学模型引入量子力学中。 不过仅半年后，埃伦费斯特的两个学生：乌伦贝克和古兹米特再次提出了类似的自旋假说，两人在埃伦费斯特的推荐下投稿给《自然》杂志。尽管洛伦兹从这种假说得出电子表面速度将远远大于光速，但其后由于玻尔、海森堡和英国物理学家卢埃林·托马斯等人在相对论力学下的计算都支持这一理论，海森堡和约尔当用矩阵对自旋做了充分的描述，自旋模型最终得到了充分肯定。 不过，泡利始终反对这种“电子自转”的经典模型，而他最终也真正做到了将电子自旋和自转严格区别：自旋并不是电子做的经典的自转，它应当理解为电子的一种内禀属性，这种属性被泡利用量子化的矩阵来描述。泡利后来将自旋的概念引入薛定谔方程中，得到了在外加电磁场作用下考虑电子自旋的量子力学波动方程，即泡利方程。 1928年，英国物理学家保罗·狄拉克在泡利方程的基础上，试图建立一个满足洛伦兹协变性并能够描述自旋为1/2粒子的薛定谔方程，这么做的部分动机也是试图解决描述自旋为零的相对论性波方程——克莱因-戈尔登方程所出现的负值概率密度和负能量的问题。 狄拉克考虑到薛定谔方程只含对时间的一阶导数而不具有洛伦兹协变性，他从而引入了一组对空间的一阶导数的线性叠加，这组叠加的系数是满足洛伦兹协变性的矩阵。由于系数是矩阵，则原有的波函数必须改为矢量函数，狄拉克将这些矢量函数称作旋量。如此得到的波动方程被称作狄拉克方程，它成为了相对论量子力学的基本方程，同时它在量子场论中也是描述自旋为1/2粒子（夸克和轻子）的基本旋量场方程。在此项工作中狄拉克首创了“量子电动力学”一词，他从而被看作是量子电动力学的创始人。 狄拉克发现，虽然旋量的概率密度可以保证为正值，方程的本征值却仍然会出现负能量。在理论上如果电子可以拥有能级低至静止能量负值的负能量态，则所有的电子都能通过辐射光子而跃迁到这一能级，狄拉克由此推算出在这种情形下整个宇宙会在一百亿分之一秒内毁灭。狄拉克对这一问题的解释是著名的狄拉克之海：真空中排满了具有负能量的电子，在泡利不相容原理的制约下正能量的电子无法跃迁到负能量态。同时，狄拉克还由此提出了反电子的存在，它同时具有负能量态电子的所有相反属性，即具有正能量和正电荷。1932年狄拉克关于反物质存在的预言通过美国物理学家卡尔·安德森使用宇宙射线制造出正电子的实验得到了证实。 1930年，狄拉克出版了他的量子力学著作《量子力学原理》，这是整个科学史上的一部里程碑之作，至今仍然是流行的量子力学教材之一。狄拉克在这部著作中将海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学统一成同一种数学表达： 1. 用相空间中的厄米算符来表示可观察量，并用希尔伯特空间中的矢量来表示系统的量子态。 2. 对可观察量而言，厄米算符的本征态构成一个正交归一的完备坐标系，所有可观察量的测量值都是厄米算符的本征值，对系统的测量会导致系统的波函数坍缩到对应的本征态。 3. 共轭算符之间满足正则对易关系，从而可得到不确定性原理。 4. 量子态随时间的动力学演化可由含时的薛定谔方程描述（薛定谔绘景），算符随时间的动力学演化可由类似的海森堡方程描述（海森堡绘景），这两者是等价的。 1939年狄拉克引入了他的数学符号系统——狄拉克符号，并应用到《量子力学原理》中。直到今天，狄拉克符号仍然是最广泛使用的一套量子力学符号系统。 量子力学的确令人印象深刻，但内心中有个声音告诉我这不符合实际情况。这个理论解释了很多，但没有真正让我们离那个“老家伙”的秘密更近一步。我，无论如何都有理由相信，他不掷骰子。— 爱因斯坦于1926年12月4日写给玻恩的信 玻尔、海森堡等人建立哥本哈根诠释之后，立刻遭到了以爱因斯坦为首的一批物理学家的反对。爱因斯坦非常反对哥本哈根学派所作出的波函数的诠释、不确定性原理以及互补原理等观点。在爱因斯坦看来，电子的这种“自由意志”行为是违反他所钟爱的因果律的，他从而认为波函数只能反映一个系综的粒子的量子行为，而不像是玻尔所说的一个粒子的行为。这种矛盾引发了分别以玻尔和爱因斯坦为代表的两种学说的论战，时间长达半个多世纪之久。 其中的论战就是我在本书第二章《从EPR悖论，到贝尔不等式，我们经历了什么？》的论述。 这种论战直到1965年，北爱尔兰物理学家约翰·贝尔在隐变量基础上提出贝尔不等式，这为隐变量理论提供了实验验证方法。从二十世纪七十年代至今，对贝尔不等式的验证给出的大多数结果是否定的；即使如此，玻尔-爱因斯坦论战的结果至今还未有最终的定论。 我们知道了量子电动力学起源于1927年保罗·狄拉克将量子理论应用于电磁场量子化的研究工作。他将电荷和电磁场的相互作用处理为引起能级跃迁的微扰，能级跃迁造成了发射光子数量的变化，但总体上系统满足能量和动量守恒。 狄拉克成功地从第一性原理导出了爱因斯坦系数的形式，并证明了光子的玻色-爱因斯坦统计是电磁场量子化的自然结果。现在人们发现，能够精确描述这类过程是量子电动力学最重要的应用之一。 另一方面，狄拉克所发展的相对论量子力学是量子电动力学的前奏，狄拉克方程作为狭义相对论框架下量子力学的基本方程，所描述的电子等费米子的旋量场的正则量子化是由匈牙利-美国物理学家尤金·维格纳和约尔当完成的。狄拉克方程所预言的粒子的产生和湮没过程能用正则量子化的语言重新加以描述。 经历了早期取得的成功之后，量子电动力学遭遇了理论上一系列严重的困难：很多原本看上去平常的物理量，例如在外界电场作用下电子的能态变化（在量子电动力学的观点看来属于电子和光子的相互作用），在量子场论的计算方法下会发散为无穷大。到了二十世纪四十年代，这一问题被美国物理学家理查德·费曼、朱利安·施温格、日本物理学家朝永振一郎等人突破性地解决了，他们所用的方法被称为重整化。尽管他们各自研究所用的数学方法不同，美籍英裔物理学家弗里曼·戴森于1949年证明了费曼所用的路径积分方法和施温格与朝永振一郎所用的算符方法的等价性。 量子电动力学的研究在这时达到了顶峰，费曼所创造的费曼图成为了研究相互作用场的微扰理论的基本工具，从费曼图可直接导出粒子散射的S矩阵。 费曼图中的内部连线对应着相互作用中交换的虚粒子的传播子，连线相交的顶点对应着拉格朗日量中的相互作用项，入射和出射的线则对应初态和末态粒子的能量、动量和自旋。由此，量子电动力学成为了第一个能够令人满意地描述电子与反电子（旋量场）和光子（规范场）以及粒子产生和湮没的量子理论。 量子电动力学是迄今为止建立的最精确的物理理论：量子电动力学的实验验证的主要方法是对精细结构常数的测量，至今在不同的测量方法中最精确的是测量电子的反常磁矩。量子电动力学中建立了电子的无量纲旋磁比（即朗德g因子）和精细结构常数的关系，磁场中电子的回旋频率和它的自旋进动频率的差值正比于朗德g因子。 从而将电子回旋轨道的量子化能量（朗道能级）的极高精度测量值和电子两种可能的自旋方向的量子化能量相比较，就可从中测得电子自旋g因子，这项工作是由哈佛大学的物理学家于2006年完成的，实验测得的g因子和理论值相比误差仅为一万亿分之一，而进一步得到的精细结构常数和理论值的误差仅为十亿分之一。对里德伯常量的测量到目前为止是精度仅次于测量反常磁矩的方法，但它的精确度仍要低一个数量级以上。 量子电动力学之后是量子色动力学的发展，二十世纪五十年代气泡室和火花室的发明，使实验高能物理学家发现了一批种类数量庞大并仍在不断增长的粒子——强子，种类如此繁多的一批粒子应当不会是基本粒子。 维格纳和海森堡起初按电荷和同位旋对这些强子进行了分类，1953年美国物理学家默里·盖尔曼和日本物理学家西岛和彦在分类时又考虑了奇异数。 1961年，盖尔曼和以色列物理学家尤瓦尔·奈曼）进一步提出了强子分类的八重态模型。盖尔曼和苏联物理学家乔治·茨威格于1963年修正了由日本物理学家坂田昌一早先提出的理论，并提出强子的分类情形可以用强子内部存在的具有三种味的更基本粒子——夸克来解释。 苏联物理学家尼古拉·博戈柳博夫和他的学生在1965年提出，对于由三个反对称的（即具有同向自旋）奇夸克组成的Ω重子，由于这种情形违反泡利不相容原理，夸克应当具有一个另外的量子数。同样的情形也出现在Δ++重子中，在夸克模型中它由三个反对称的上夸克组成。同年，日本物理学家南部阳一郎等人分别独立提出夸克应当具有一个额外的SU(3)规范对称的自由度，这种自由度后来被称作色荷。南部等人还进一步提出了传递夸克之间相互作用的媒介子模型，这种媒介子是一组八种色的规范玻色子：胶子。 实验中对自由夸克的检测总是以失败告终，这使得盖尔曼一再声称夸克只是存在于数学上的结构，不代表真实的粒子；不过他的意思实际是指夸克是被禁闭的。 费曼认为高能实验已经证明了夸克是物理实在的粒子，并按他的习惯称之为部分子。盖尔曼和费曼的不同观点在理论物理学界产生了深刻的分歧，费曼坚持认为夸克和其他粒子一样具有位置和动量的分布，盖尔曼则认为虽然特定的夸克电荷是可以定域化的，但夸克本身则有可能是无法定域化的。美国物理学家詹姆斯·比约肯指出如果夸克真的像部分子那样是实在的点粒子，则电子和质子的深度非弹性散射将满足特定关系，这一实验由斯坦福直线加速器中心于1968年证实。1973年，美国物理学家戴维·格娄斯和他的学生弗朗克·韦尔切克，以及美国物理学家休·波利策发现了强相互作用中的渐近自由性质，这使得物理学家能够利用量子场论中的微扰方法对很多高能实验作出相当精确的预言。1979年，德国电子加速器中心的正电子-电子串联环形加速器（PETRA）发现了胶子存在的直接证据。 与高能下的渐进自由相对的是低能下的色禁闭：由于色荷之间的作用力不随距离增大而减小，现在普遍认为夸克和胶子永远无法从强子中释放。这一理论已经在格点量子色动力学的计算中被证实，但没有数学上的严格分析。克雷数学研究所悬赏一百万美元的“千禧年大奖难题”之一正是严格证明色禁闭的存在。 二十世纪二十年代，量子力学的建立给原子核物理带来了崭新的面貌。1932年密立根的学生卡尔·安德森在不了解狄拉克理论的情况下通过观测云室中的宇宙射线发现了正电子。同年，查德威克在卢瑟福提出的原子核内具有中子的假说的基础上，在卡文迪许实验室进行了一系列粒子撞击实验，并计算了相应粒子的能量。查德威克的实验证实了原子核内中子的存在，并测定了中子的质量。中子的发现改变了原子核原有的质子-电子模型，维尔纳·海森堡提出新的质子-中子模型，在这模型里，除了氢原子核以外，所有原子核都是由质子与中子组成。 1934年，法国的约里奥-居里夫妇通过用放射性钋所产生的α射线轰击硼、镁、铝等轻元素，会发射出很多粒子产物，尽管之后移开放射性钋，仍旧会继续发射粒子产物，这个现象导致了他们发现了人工放射性。 摘自独立学者，科普作家灵遁者量子力学书籍《见微知著》 |
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